Seznam úloh

1. Hybnost auta a náklaďáku

   Osobní auto o hmotnosti 1,5 tuny jede rychlostí 30 m/s (čili 108 km/h). Jakou rychlostí by muselo jet nákladní auto o hmotnosti 7,5 tuny, aby mělo stejnou hybnost?

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Musí platit $m_1v_1 = m_2v_2$.

   Řešení: Zápis: $m_1$ = 1500 kg; $v_1$ = 30 m/s; $m_2$ = 7500 kg; $v_2$ = ?
   Má platit $p_1 = p_2$, neboli
   $m_1v_1 = m_2v_2$.*
   Nyní mohu provést úvahu, že náklaďák má 5x větší hmotnost, a tedy musí mít 5x menší rychlost, neboli 6 m/s.
   
   Nebo mohu dosadit do vztahu * výše:
   $1500\,\mathrm{kg} \cdot 30\,\mathrm{ms^{-1}} = 7500\,\mathrm{kg} \cdot v_2$.
   $v_2 = 30 \cdot 1500/7500 = 6\,\mathrm{m/s}$.
   Ze vztahu * mohu samozřejmě také vyjádřit $v_2$ obecně
   $\frac{m_1}{m_2}v_1 = v_2$ a pak až dosadit.

   Výsledek: 6 m/s

2. Hybnost auta a dodávky

   Dodávka o hmotnosti 3,5 tuny jede rychlostí 60 km/h. Jakou rychlost by muselo mít osobní auto o hmotnosti 1,5 tuny, aby mělo stejnou hybnost jako dodávka?

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení: Má platit $m_1v_1 = m_2v_2$, neboli
   $3,5 \cdot 60 = 1,5 \cdot v$,
   tedy $v = 60\,\mathrm{km/h} \cdot 3,5/1,5 = 140\,\mathrm{km/h}$.
   Kolikrát menší je hmotnost, tolikrát větší musí mít rychlost.
   Všimněme si, že jsme km/h nepřeváděli na m/s. Zde si to můžeme dovolit, musíme ale mít na paměti, že když jsme rychlost dodávky vyjádřili v km/h, tak výsledná rychlost auta taky vyjde v km/h. Pokud nepřevedeme na základní jednotky, tak vždy musíme vědět, proč tak činíme.

   Výsledek: 140 km/h

3. Hybnost systému dvou kamenů

   Těleso o hmotnosti 5 kg se pohybuje rychlostí 2 m/s a jiné těleso o hmotnosti 3 kg se pohybuje rychlostí 4 m/s. Určete celkovou velikost hybnosti systému v následujících případech:
   a) pohybují se stejným směrem v téže přímce;
   b) pohybují se proti sobě v téže přímce;
   c) jejich rychlosti jsou vzájemně kolmé;

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení:

   Výsledek: a) 22 kg.m/s; b) 2 kg.m/s; c) 15,6 kg.m/s.

4. Strčení do bruslaře

   O kolik se změní rychlost bruslaře o hmotnosti 50 kg, když do něj někdo tlačí silou o velikosti 40 N po dobu půl sekundy? Bruslař bez tření klouže po ledě. K výpočtu použijte vztah pro impuls síly.

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$.

   Řešení: Zápis: $m$ = 50 kg; $F$ = 40 N; $\Delta t$ = 0,5 s; $\Delta v$ = ?;
   Impuls síly:
   $\Delta p = F \cdot \Delta t$,
   čili
   $m \Delta v = F \cdot \Delta t$
   obě strany rovnice vydělíme $m$:
   $\Delta v = F \cdot \Delta t / m$
   $\Delta v$ = 40 N $\cdot$ 0,5 s / 50 kg = 0,4 m/s.
   
   Můžeme samozřejmě řešit i bez impulsu síly, prostě na základě druhého Newtonova zákona $a = F/m$. Zkuste si.

   Výsledek: 0,4 m/s

5. Síla baseballové pálky na míček

   Jakou průměrnou silou působí baseballová pálka na míček, pokud profesionálové nadhazují rychlostí 140 km/h, odpálený míček má rychlost 150 km/h, a kontakt pálky a míčku trvá asi 2 ms? Potřebné hodnoty si dohledejte.

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Využijte vztah pro impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Dále si uvědomte, že míček změní směr, takže změna rychlosti NENÍ 10 km/h, jak by se snad mohlo zdát.

   Řešení: Hmotnost baseballového míčku je asi 145 g. Hybnost změnila směr na opačný. Změna rychlosti celkem $290\,\mathrm{km/h} = 80,56\,\mathrm{m/s}$ . Celková změna hybnosti je tak $\Delta p = m\Delta v = 0,145\,\mathrm{kg} \cdot 80,56\,\mathrm{m/s} = 11,68\,\mathrm{kg \cdot m/s}$. Doba působení síly je $\Delta t$ = 0,002 s.
   
   Platí $F = \Delta p / \Delta t = 11,68 / 0,002 = 5841\,\mathrm{N}$.
   
   To je strašně moc, jako tíha skoro 600 kg závaží!

   Výsledek: 6000 N

6. Katapult na kolečkách

   Katapult na kolečkách má hmotnost 200 kg. Při válce gangů vystřelil vodorovným směrem medicimbal o hmotnosti 8 kg rychlostí 50 m/s vůči zemi. Jakou rychlostí ze rozpohybuje katapult v opačném směru (tedy jaká je rychlost zpětného rázu)?

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení: Katapult a medicimbál na sebe působí vzájemně stejně velkými silami opačného směru a tedy během výstřelu získají stejně velké hybnosti opačného směru. Hybnost medicimbálu vůči zemi je
   $m_m v_m$ = 400 kg.m/s.
   Mohu si jednoduše říct, žatapult má 25x větší hmotnost a jeho rychlost tak bude 25x menší, čili 2 m/s.
   Nebo si mohu říci, že hybnost katapultu musí být taktéž 400 kg.m/s, a tedy jeho rychlost musí být
   $v_k = p_k/m_k = 400 / 200 = 2\,\mathrm{m/s}$.

   Výsledek: 2 m/s

7. Srážka krabic

   První krabice o hmotnosti 2 kg klouže po ledě rychlostí 6 m/s a narazí do nehybné krabice neznámé hmotnosti. Při srážce dojde ke spojení krabic a dál se pohybují společně rychlostí 2 m/s. Jaká je hmotnost původně nehybné krabice?

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: Vyjdeme ze zákona zachování hybnosti:
   m_1v_1 + 0 = (m_1 + x)\cdot v$
   $2\cdot6 = (2 + x)\cdot2$
   $6 = 2 + x$
   x = 4 kg

   Výsledek: 4 kg

8. Střela do zloděje

   Zloděj zmrzliny o hmotnosti 80 kg stojí na kluzkém ledě a uvízne v něm střela, která letěla rychlostí 800 m/s a měla hmotnost 3 g. Jakou rychlostí se po ledě rozpohybuje zločinec?

   [má hint] ⊕ ⊖

   
   a) asi 2 mm/s; b) asi 3 cm/s; c) asi 40 cm/s; d) asi 2 m/s;

   ---

   Nápověda: Hybnost celého systému na začátku i na konci musí být stejná.

   Řešení: Zákon zachování hybnosti pro tento případ říká:
   $m_{\text{zločinec}} \cdot v_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$
   
   Protože zločinec na začátku stojí, jeho počáteční rychlost $v_{\text{zločinec}} = 0$. Rovnice se zjednoduší na:
   $m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$
   
   Vyjádříme konečnou rychlost $v_{\text{konečná}}$:
   $v_{\text{konečná}} = \frac{m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}}}{m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}}$
   
   Dosadíme hodnoty:
   $v_{\text{konečná}} = \frac{0{,}003 \cdot 800}{70 + 0{,}003} \approx 0{,}034 \, \text{m/s}$

   Výsledek: b);

9. Indiana Jones naskakuje

   Indiana Jones vypasený na hmotnost 80 kg běží rychlostí 10 m/s podle kolejí úzkokolejky. Před ním stojí nehybný prázdný důlní vozík o hmotnosti 240 kg. Indianovi se vylíhl v hlavě nápad, že do vozíku naskočí. Jaká bude výsledná rychlost vozíku spolu s Indianou, poté co naskočil?

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Celková hybnost Indiany a vozíku na začátku musí být stejná jako jejich celková hybnost na konci.

   Řešení: Zápis: $m_1$ = 80 kg; $v_1$ = 10 m/s; $m_2$ = 240 kg; $v_2$ = 0 m/s;
   Výsledná hmotnost $m = m_1 + m_2$. Chceme spočítat výslednou rychlost $v$.
   Celková hybnost Indiany a vozíku na začátku musí být stejná jako jejich celková hybnost na konci. Odtud rovnice:
   $p_1 + p_2 = p$
   $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$,
   čili
   $(80\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\mathrm{m/s}) + 0 = 320\,\mathrm{kg}\cdot v$
   tedy
   $v = v_1m_1/(m_1+m_2) = (80\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\mathrm{m/s}) / 320\,\mathrm{kg} = 2,5\,\mathrm{m/s}$
   Výsledná rychlost je tedy 4x menší než počáteční rychlost Indiany.
   Na to jsme mohli ale přijít rovnou: Indiana jakoby ztěžkl o hmotnost celého vozíku, takže nová hmotnost je 4x větší než ta původní, ale hybnosti mají být zachovány, tedy výsledná rychlost musí být 4x menší.

   Výsledek: 2,5 m/s

10. Srážka modelín

    Na dokonale kluzkém ledě proti sobě jedou dva kusy modelíny. První kus jede zleva doprava rychlostí 4 m/s a má hmotnost M. Druhý kus jede opačným směrem zprava doleva rychlostí 3 m/s. Při srážce se modelíny slepí a pokračují dále směrem doleva rychlostí 1 m/s. Jakou hmotnost měl druhý kus modelíny? Vyjádřete číslem jako násobek M, čili vyjádřete poměr hledané hmotnosti vůči M.

    ⊕ ⊖

    

    obr. skrýt | S | M | L | XL

    ---

    Řešení: Označíme $x$ hledaný poměr hmotností.
    Zákon zachování hybnosti:
    $Mv_1 + xMv_2 = (M + xM)v$
    Zkrátíme $M$:
    $v_1 + xv_2 = (1 + x)v$
    Dosadíme rychlosti, dáme pozor na znaménka podle toho, kam rychlost míří:
    $4 - 3x = -(1 + x)$
    $5 = 2x$
    $x = 2,5$
    Čili druhý kus modelíny je 2,5-krát těžší než první kus.

    Výsledek: 2,5 M

11. Srážka stejnosměrných vagonů

    Po kolejích se pohybuje vagon o hmotnosti 5 tun rychlostí 4 m/s směrem doprava a narazí do vagonu o hmotnosti 10 tun jedoucího stejným směrem rychlostí 1 m/s. Po srážce se spojí a pohybují společně. Určete jejich rychlost po srážce, uveďte v jednotce m/s.

    [má hint] ⊕ ⊖

    ---

    Nápověda: Celková hybnost systému před srážkou a po srážce musí být stejná.

    Řešení: Použijeme zákon zachování hybnosti:
    $m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{kon}}$
    
    Dosadíme:
    $m_1 = 5000 \, \text{kg}, \, v_1 = 4 \, \text{m/s}, \, m_2 = 10000 \, \text{kg}, \, v_2 = 1 \, \text{m/s}$
    
    $v_{\text{kon}} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$
    
    $v_{\text{kon}} = \frac{5000 \cdot 4 + 10000 \cdot 1}{5000 + 10000} = 2 \, \text{m/s}$

    Výsledek: 2 m/s

12. Srážka protijedoucích vagonů

    Jedou proti sobě dva vagony. První vagon jede směrem zleva doprava rychlostí 1,6 m/s. Druhý vagon jede proti němu zprava doleva rychlostí 1,2 m/s. Hmotnost druhého vagonu je o 50% větší než hmotnost prvního vagonu. Při srážce se vagony spojí a pohybují se dál společně. Jaká je výsledná rychlost a směr po spojení?

    [má hint] ⊕ ⊖

    
    a) 0,24 m/s doprava; b) 0,08 m/s doprava; c) -0,08 m/s doleva; d) -0,24 m/s doleva;

    ---

    Nápověda: Napište si rovnici vyplývající ze zákona zachování hybnosti. Nezapomeňte, že směr pohybu je potřeba rozlišit znaménkem u rychlosti.

    Řešení: Hmotnosti: $m_2 = 1{,}5 \, m_1$. Rychlosti: $v_1 = 1{,}6 \, \text{m/s}$, $v_2 = -1{,}2 \, \text{m/s}$.
    
    Zákon zachování hybnosti:
    $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{\text{kon}}$
    
    Dosadíme $m_2 = 1{,}5 \, m_1$, zkrátíme na obou stranách $m_1$ a vyjádříme konečnou rychlost:
    $v_{\text{kon}} = \frac{v_1 + 1{,}5 v_2}{2{,}5} $
    
    Dosadíme hodnoty rychlostí:
    $v_{\text{kon}} = \frac{1{,}6 + 1{,}5 \cdot (-1{,}2)}{2{,}5} = -0{,}08 \, \text{m/s}$
    
    Záporné znaménko značí směr pohybu doleva.

    Výsledek: c);

Nápovědy

• 1) Musí platit $m_1v_1 = m_2v_2$.
• 4) Impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$.
• 5) Využijte vztah pro impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Dále si uvědomte, že míček změní směr, takže změna rychlosti NENÍ 10 km/h, jak by se snad mohlo zdát.
• 8) Hybnost celého systému na začátku i na konci musí být stejná.
• 9) Celková hybnost Indiany a vozíku na začátku musí být stejná jako jejich celková hybnost na konci.
• 11) Celková hybnost systému před srážkou a po srážce musí být stejná.
• 12) Napište si rovnici vyplývající ze zákona zachování hybnosti. Nezapomeňte, že směr pohybu je potřeba rozlišit znaménkem u rychlosti.

Výsledky

1. 6 m/s
2. 140 km/h
3. a) 22 kg.m/s; b) 2 kg.m/s; c) 15,6 kg.m/s.
4. 0,4 m/s
5. 6000 N
6. 2 m/s
7. 4 kg
8. b);
9. 2,5 m/s
10. 2,5 M
11. 2 m/s
12. c);