Fyzikální úlohy

Řešení: Zápis: $m_1$ = 1500 kg; $v_1$ = 30 m/s; $m_2$ = 7500 kg; $v_2$ = ?
Má platit $p_1 = p_2$, neboli
$m_1v_1 = m_2v_2$.*
Nyní mohu provést úvahu, že náklaďák má 5x větší hmotnost, a tedy musí mít 5x menší rychlost, neboli 6 m/s.

Nebo mohu dosadit do vztahu * výše:
$1500\,\mathrm{kg} \cdot 30\,\mathrm{ms^{-1}} = 7500\,\mathrm{kg} \cdot v_2$.
$v_2 = 30 \cdot 1500/7500 = 6\,\mathrm{m/s}$.
Ze vztahu * mohu samozřejmě také vyjádřit $v_2$ obecně
$\frac{m_1}{m_2}v_1 = v_2$ a pak až dosadit.

Výsledek: 6 m/s

Hint: Musí platit $m_1v_1 = m_2v_2$.

ID: 81; Tags: hybnost; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 1/9;

Řešení: Má platit $m_1v_1 = m_2v_2$, neboli
$3,5 \cdot 60 = 1,5 \cdot v$,
tedy $v = 60\,\mathrm{km/h} \cdot 3,5/1,5 = 140\,\mathrm{km/h}$.
Kolikrát menší je hmotnost, tolikrát větší musí mít rychlost.
Všimněme si, že jsme km/h nepřeváděli na m/s. Zde si to můžeme dovolit, musíme ale mít na paměti, že když jsme rychlost dodávky vyjádřili v km/h, tak výsledná rychlost auta taky vyjde v km/h. Pokud nepřevedeme na základní jednotky, tak vždy musíme vědět, proč tak činíme.

Výsledek: 140 km/h

Hint:

ID: 82; Tags: hybnost; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 1/9;

Řešení:

Výsledek: a) 22 kg.m/s; b) 2 kg.m/s; c) 15,6 kg.m/s.

Hint:

ID: 86; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 1/9;

Řešení: Zápis: $m$ = 50 kg; $F$ = 40 N; $\Delta t$ = 0,5 s; $\Delta v$ = ?;
Impuls síly:
$\Delta p = F \cdot \Delta t$,
čili
$m \Delta v = F \cdot \Delta t$
obě strany rovnice vydělíme $m$:
$\Delta v = F \cdot \Delta t / m$
$\Delta v$ = 40 N $\cdot$ 0,5 s / 50 kg = 0,4 m/s.

Můžeme samozřejmě řešit i bez impulsu síly, prostě na základě druhého Newtonova zákona $a = F/m$. Zkuste si.

Výsledek: 0,4 m/s

Hint: Impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$.

ID: 83; Tags: hybnost, impuls síly; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 2/9;

Řešení: Hmotnost baseballového míčku je asi 145 g. Hybnost změnila směr na opačný. Změna rychlosti celkem $290\,\mathrm{km/h} = 80,56\,\mathrm{m/s}$ . Celková změna hybnosti je tak $\Delta p = m\Delta v = 0,145\,\mathrm{kg} \cdot 80,56\,\mathrm{m/s} = 11,68\,\mathrm{kg \cdot m/s}$. Doba působení síly je $\Delta t$ = 0,002 s.

Platí $F = \Delta p / \Delta t = 11,68 / 0,002 = 5841\,\mathrm{N}$.

To je strašně moc, jako tíha skoro 600 kg závaží!

Výsledek: 6000 N

Hint: Využijte vztah pro impuls síly: $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Dále si uvědomte, že míček změní směr, takže změna rychlosti NENÍ 10 km/h, jak by se snad mohlo zdát.

ID: 84; Tags: impuls síly; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 2/9;

Řešení: Katapult a medicimbál na sebe působí vzájemně stejně velkými silami opačného směru a tedy během výstřelu získají stejně velké hybnosti opačného směru. Hybnost medicimbálu vůči zemi je
$m_m v_m$ = 400 kg.m/s.
Mohu si jednoduše říct, žatapult má 25x větší hmotnost a jeho rychlost tak bude 25x menší, čili 2 m/s.
Nebo si mohu říci, že hybnost katapultu musí být taktéž 400 kg.m/s, a tedy jeho rychlost musí být
$v_k = p_k/m_k = 400 / 200 = 2\,\mathrm{m/s}$.

Výsledek: 2 m/s

Hint:

ID: 87; Tags: zpětný ráz; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 3/9;

Řešení: Zákon zachování hybnosti pro tento případ říká:
$m_{\text{zločinec}} \cdot v_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$

Protože zločinec na začátku stojí, jeho počáteční rychlost $v_{\text{zločinec}} = 0$. Rovnice se zjednoduší na:
$m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$

Vyjádříme konečnou rychlost $v_{\text{konečná}}$:
$v_{\text{konečná}} = \frac{m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}}}{m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}}$

Dosadíme hodnoty:
$v_{\text{konečná}} = \frac{0{,}003 \cdot 800}{70 + 0{,}003} \approx 0{,}034 \, \text{m/s}$

Výsledek: 3 cm/s

Hint: Hybnost celého systému na začátku i na konci musí být stejná.

ID: 23; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 4/9;

Řešení: Zápis: $m_1$ = 80 kg; $v_1$ = 10 m/s; $m_2$ = 240 kg; $v_2$ = 0 m/s;
Výsledná hmotnost $m = m_1 + m_2$. Chceme spočítat výslednou rychlost $v$.
Celková hybnost Indiany a vozíku na začátku musí být stejná jako jejich celková hybnost na konci. Odtud rovnice:
$p_1 + p_2 = p$
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$,
čili
$(80\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\mathrm{m/s}) + 0 = 320\,\mathrm{kg}\cdot v$
tedy
$v = v_1m_1/(m_1+m_2) = (80\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\mathrm{m/s}) / 320\,\mathrm{kg} = 2,5\,\mathrm{m/s}$
Výsledná rychlost je tedy 4x menší než počáteční rychlost Indiany.
Na to jsme mohli ale přijít rovnou: Indiana jakoby ztěžkl o hmotnost celého vozíku, takže nová hmotnost je 4x větší než ta původní, ale hybnosti mají být zachovány, tedy výsledná rychlost musí být 4x menší.

Výsledek: 2,5 m/s

Hint: Celková hybnost Indiany a vozíku na začátku musí být stejná jako jejich celková hybnost na konci.

ID: 123; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 4/9;

Řešení: Použijeme zákon zachování hybnosti:
$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{kon}}$

Dosadíme:
$m_1 = 5000 \, \text{kg}, \, v_1 = 4 \, \text{m/s}, \, m_2 = 10000 \, \text{kg}, \, v_2 = 1 \, \text{m/s}$

$v_{\text{kon}} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

$v_{\text{kon}} = \frac{5000 \cdot 4 + 10000 \cdot 1}{5000 + 10000} = 2 \, \text{m/s}$

Výsledek: 2 m/s

Hint: Celková hybnost systému před srážkou a po srážce musí být stejná.

ID: 24; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 5/9;

Řešení: Hmotnosti: $m_2 = 1{,}5 \, m_1$. Rychlosti: $v_1 = 1{,}6 \, \text{m/s}$, $v_2 = -1{,}2 \, \text{m/s}$.

Zákon zachování hybnosti:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{\text{kon}}$

Dosadíme $m_2 = 1{,}5 \, m_1$, zkrátíme na obou stranách $m_1$ a vyjádříme konečnou rychlost:
$v_{\text{kon}} = \frac{v_1 + 1{,}5 v_2}{2{,}5} $

Dosadíme hodnoty rychlostí:
$v_{\text{kon}} = \frac{1{,}6 + 1{,}5 \cdot (-1{,}2)}{2{,}5} = -0{,}08 \, \text{m/s}$

Záporné znaménko značí směr pohybu doleva.

Výsledek: -0,08 m/s doleva

Hint: Napište si rovnici vyplývající ze zákona zachování hybnosti. Nezapomeňte, že směr pohybu je potřeba rozlišit znaménkem u rychlosti.

ID: 25; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin); Position: 5/9;