Seznam úloh

1. Základy elektromagnetického vlnění

   Vyberte správné odpovědi k otázkám ohledně elektromagnetického vlnění:

   a) Jaký je vzájemný směr intenzity elektrického pole a směru šíření vlny?
   b) Elektromagnetické vlnění je podélné nebo příčné?
   c) Jaký je vzájemný směr intenzity elektrického pole a magnetické indukce v daném místě?
   d) Pokud zdrojem vlnění je kmitání elektrického náboje, tak při zvýšení frekvence kmitání se vlnová délka ...

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení:

   Výsledek: kolmý ; příčné ; kolmý ; ;

2. Základy elmag. vlnění 2

   Vyberte pravdivá tvrzení:

   ⊕ ⊖

   
   a) Zdrojem elmag. vlnění je obeecně kmitající nebo zrychlující elektrický náboj; b) Elektromagnetické vlnění působí jen na elektrony a nikoli na protony; c) Při průchodu elektromagnetické vlny přes kovový vodič může dojít k rozkmitání elektronů; d) Vodič se stejnosměrným proudem je zdrojem elektromagnetického vlnění;

   ---

   Řešení:

   Výsledek: a); c);

3. Základy elektromagnetické vlnění

   Odpovězte na otázky ohledně elektromagnetického vlnění:

   a) Rychlost šíření elektromagnetické vlny ve vakuu je ...
   b) Rychlost světla ve skle či ve vodě je oproti rychlosti ve vakuu ...
   c) Pokud je index lomu prostředí větší, tak vlnová délka v tomto prostředí bude ...
   d) Při vstupu světla do prostředí s vyšším indexem lomu se frekvence vlnění ...
   e) Pokud při vstupu do jiného prostředí dojde k prodloužení vlnové délky, tak to znamená, že dojde k lomu

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení:

   Výsledek: ; menší ; menší ; nezmění ; od kolmice ;

4. Vlnová délka a frekvence

   Určete vlnovou délku či frekvenci elektromagnetického vlnění v požadované jednotce:

   a) Vlnová délka rádia, které vysílá na frekvenci 100 MHz (ve vakuu).
   b) Vlnová délka wifi, která vysílá na frekvenci 5 GHz (ve vakuu).
   c) Frekvence infračerveného záření o vlnové délce 6 mikrometrů (ve vakuu).
   d) Vlnová délka vlnění o frekvenci 10$^{15}$ Hz ve skle o indexu lomu 1,5.

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení:

   Výsledek: 3 m; 60 mm; 50 THz; 200 nm;

5. Interference zvuku z repráků

   Představme si, že máme dva reproduktory (žluté tečky v obrázku), které synchronně vyluzují tón o stejné frekvenci (a shodné fázi). V různých bodech prostoru (červené křížky), pak můžeme zjišťovat, jak vzájemně interferují vlny z těchto dvou zdrojů. Víme, že rozhodující je takzvaný "dráhový rozdíl". Jeden větší čtvereček ve čtvercové sítu budiž 1 metr. Odpovídejte na otázky:

   a) Jakým způsobem budou interferovat v bodě A vlnění o vlnové délce 94 cm?
   b) Jakým způsobem budou v bodě B interferovat vlnění o frekvenci 500 Hz?
   c) Jakou největší vlnovou délku může mít vlnění, aby v bodě C interferovalo destruktivně?
   d) Která vlnová délka v rozsahu od 24 cm do 32 cm bude v bodě D interferovat konstruktivně?

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení:

   Výsledek: destruktivně ; destruktivně ; 121 cm; 29 cm;

6. Antireflexní vrstva

   Antireflexní vrstva čočky má index lomu 1,45 a sklo pod ní index lomu 1,62. Vrstva má tloušťku 105 nm.
   a) Jakou vlnovou délku z viditelné oblasti tlumí nejvíc, tedy dochází pro ni k destruktivní interferenci?
   b) Jaká je to barva?
   c) Která je další nejbližší vlnová délka, kterou vrstva tlumí?
   d) Do jaké spadá spektrální oblasti?
   Pozn.: Změnu fáze při odrazu nemusíte uvažovat, protože v obou případech se jedná o odraz na opticky hustším prostředí

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: Pro výpočet bude důležitý index lomu vrstvy $n = 1{,}45$.
   Tloušťka vrstvy je $d = 105\jed{nm}$. Tuto tloušťku musí světlo odražené od druhého rozhraní projít dvakrát (tam a zpět). Aby došlo k destruktivní interferenci se světlem odraženým od prvního rozhraní, tak se do dráhového rozdílu $2d$ musí vejít polovina vlnové délky, jaká bude uvnitř vrstvy, čili máme podmínku:
   $2d = \lambda'/2$
   $\lambda = 4d = 420\jed{nm}$.
   To je vlnová délka uvnitř vrstvy, která je oproti vzduchu zkrácená faktorem $n = 1{,}45$.
   Vlnová délka ve vzduchu (vakuu) tak bude delší
   $\lambda = n \lambda' = 1{,}45 \cdot 420\jed{nm} = 609\jed{nm}$.
   To odpovídá oranžovo-červené barvě.
   
   Mohli bychom na úlohu jít i obecněji s použitím pojmu optická dráha, což je součin klasické dráhy a indexu lomu v daném prostředí. Světlo odražené od druhého rozhraní musí uvnitř vrstvy vykonat navíc optickou dráhu o velikosti
   $2nd$. K destruktivní interferenci dojde, když tato dodatečná optická dráha odpovídá poločíselnému násobku vlnové délky ve vzduchu, čili máme podmínku destruktivní interference:
   $2nd = (k + \frac{1}{2})\lambda$.
   Vyjádříme vlnovou délku:
   $\lambda = 2nd / (k + \frac{1}{2})$
   přičemž $k$ je celé nezáporné číslo: 0, 1, 2,...
   Tedy
   $\lambda = 2nd / (k + \frac{1}{2}) = 304{,}5\jed{nm} / (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2} \dots) = 609\jed{nm}; 203\jed{nm}; 122\jed{nm}\dots $
   Vidíme, že do viditelné oblasti spadá jen nejdelší vlnová délka 609 nm, kterí odpovídá $k=0$.
   Další v pořadí je 203 nm, což je v ultrafialové oblasti.

   Výsledek: 609 nm; oranžovo-červená ; 203 nm; ;

7. Interferenční proužky

   Obrázek schematicky znázorňuje interferenční obrazec (proužky), který vznikne na stínítku při dvouštěrbinovém experimentu, když jsou štěrbiny osvětlovány koherentním světlem konkrétní barvy, zde zeleně.

   a) Jak se změní vzdálenost proužků, když by světlo bylo červené?
   b) Jak se změní vzájemná vzdálenost proužků, když budou štěrbiny dál od sebe?

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení:

   Výsledek: zvětší se ; zmenší se ;

8. Dvě štěrbiny

   Při dvouštěrbinové experimentu jsou štěrbiny ve vzdálenosti b = 1 mm od sebe, a světlo dopadá na stěnu ve vzdálenosti d = 1,2 m. Určete, jakou vlnovou délku by muselo mít dopadající záření, aby ve vyznačeném bodě bylo světlo (čili konstruktivní interference).

   [má hint] ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Nápověda: Klíčový je dráhový rozdíl od jednoho a druhého zdroje. Takže asi budete muset použít Pythagorovu větu.

   Řešení: Rozhodující je rozdíl drah k danému místu od jednoho zdroje a od druhého zdroje. V tomto případě dráha od bližšího zdroje je 1200 mm a dráha od vzdálenějšího odpovídá přeponě trojúhelníka, která má délku
   $p = \sqrt{(1200^2 + 1^2)} = 1200{,}000417 \jed{mm}$.
   Rozdíl drah je tedy 0,000417 mm, což je 417 nm.
   Konstruktivní interference nastane pro vlnové délky splňující
   $k\lambda = \Delta L = 417 \jed{nm}$.
   Pro k=1 máme $\lambda = 417\jed{nm}$, tedy když se do dráhového rozdílu vejde právě jedna vlnová délka. Pro k=2 bychom měli 208 nm a tak dále.

   Výsledek: 417 nm

9. Difrakční mřížka

   Helmut má difrakční mřížku s označením "500 lines/mm" a svítí na ní kolmo laserem o vlnové délce 640 nm. Mřížku dal do vzdálenosti x = 200 cm od stěny. Kromě přímo prošlého laserového paprsku se ještě z každé strany zřetelné objevila jedna další stopa laseru. Zajímá nás:

   a) Jaká bude na stěně vzdálenost y mezi krajní a středovou stopou?
   b) Pokud bychom měli mřížku "1000 lines/mm", jak by se změnila vzdálenost y?
   c) Pokud by laser svítil zeleně, jak by se změnila vzdálenost y?
   d) Pokud by stěna byla od mřížky ve větší vzdálenosti, jak by se změnila vzdálenost y?

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: a) Vzdálenost štěrbin mřížky je podle zadání $b = 1\jed{mm}/500 = 2000\jed{nm}$.
   Pro úhel odchýlení bočních paprsků vycházejících z difrakční mřížky platí
   $b\sin\alpha = k\lambda$,
   kde $\alpha$ je odchýlení bočního paprsku od přímého směru, $\lambda$ je vlnová délka dopadajícího paprsku, $k$ je nezáporné celé číslo (0; 1; 2\dots), takzvaný řád difrakce.
   V našem případě středový paprsek v nezměněném směru odpovídá $k=0$ a boční paprsky $k=1$, čili řešíme jen situaci
   $b\sin\alpha = \lambda$
   $\alpha = \sin^{-1}(\lambda/b) = \sin^{-1}(640/2000) = 0{,}3287\jed{rad} = 18{,}66^\circ$
   Hledaná vzdálenost $y$ je
   $y = x \tan\alpha = 200\jed{cm} \cdot 0{,}3378 = 67{,}5 \jed{cm}$.
   
   b) Pro hustší vrypy neboli pro menší $b$ bude úhel odchýlení větší a vzdálenost $y$ bude také větší.
   
   c) Pro kratší vlnovou délku (zelená) bude úhel odchýlení také menší (viz vztah $\alpha = \sin^{-1}(\lambda/b)$)
   
   d) Při vzdálenější stěně bude $y$ zřejmě úměrně větší.

   Výsledek: 67,5 cm; zmenší se ; zmenší se ; zvětší se ;

10. Tloušťka bubliny

    Bublina z bublifuku je v podstatě tenoučká vrstva vody. Když na ní dopadá světlo, tak se část světla odrazí od rozhraní vzduch-voda. Ze světla prošlého vrstvičkou vody se poté zase část odrazí od rozhraní voda-vzduch. Odražená světelná vlnění se poté skládají a bublina se nám proto může jevit barevná s určitou převládající barvou.
    Určete, při jakých tloušťkách se stěna bubliny bude jevit modro-zelená (500 nm) při pozorování kolmo dopadajícího světla, neboli při jakých tloušťkách bude právě tato vlnová délka interferovat konstruktivně.

    a) Uveďte nejmenší takovou tloušťku.
    b) Uveďte druhou nejmenší takovou tloušťku.
    c) Při jaké tloušťce bude kromě modrozelené barvy konstruktivně interferovat i jiná vlnová délka z viditelné oblasti 380 nm - 780 nm?

    -- Pozn.: Při odrazu na rozhraní s opticky hustším prostředím dojde ke změně fáze o 180°, čili o posunutí o půl vlnové délky.

    ⊕ ⊖

    

    obr. skrýt | S | M | L | XL

    ---

    Řešení: Budeme potřebovat index lomu vody: $n = 1{,}33$.
    Vlnová délka modrozelené barvy ve vzduchu je zadána $\lambda = 500\jed{nm}$. Tloušťku stěny bubliny označme $d$.
    Světlo odražené od druhého rozhraní projde navíc optickou dráhu o velikosti $2nd$. Světlo odražené od prvního rozhraní prodělalo změnu fáze, čili posun o $\lambda/2$. Podmínka konstruktivní interference je proto:
    $2nd = k\lambda + \lambda/2 = (k + \frac{1}{2})\lambda$.
    Vyjádříme tloušťku:
    $d = (k + \frac{1}{2})\lambda/(2n)$
    Nejmenší tloušťka splňující konstruktivní interferenci bude pro $k=0$, čili
    $d = \lambda/(4n) = 94\jed{nm}$.
    
    Pokud bychom dosadili $k = 1$, dostaneme trojnásobek této tloušťky, čili 282 nm, a pro $k=2$ pětinásobek, čili tloušťku 470 nm, pro $k=3$ máme 658 nm. Pro $k=3$ však již nastane situace, že kromě $\lambda = 500 nm$ bude konstruktivně interferovat i červená barva vlnové délky 700 nm.

    Výsledek: 94 nm; 282 nm; 658 nm;

Nápovědy

• 8) Klíčový je dráhový rozdíl od jednoho a druhého zdroje. Takže asi budete muset použít Pythagorovu větu.

Výsledky

1. kolmý ; příčné ; kolmý ; ;
2. a); c);
3. ; menší ; menší ; nezmění ; od kolmice ;
4. 3 m; 60 mm; 50 THz; 200 nm;
5. destruktivně ; destruktivně ; 121 cm; 29 cm;
6. 609 nm; oranžovo-červená ; 203 nm; ;
7. zvětší se ; zmenší se ;
8. 417 nm
9. 67,5 cm; zmenší se ; zmenší se ; zvětší se ;
10. 94 nm; 282 nm; 658 nm;