Seznam úloh

1. Obrátka

   Malé hladké tělísko klouže bez tření po dráze jako na obrázku a vjíždí do kruhové smyčky o poloměru R. Jaká musí být minimální rychlost tělíska v0 před vjezdem do smyčky, aby tělísko projelo smyčkou a stále zůstalo v kontaktu s dráhou (tedy aby od dráhy neodpadlo)?
   Řešte nejprve obecně a pak pro smyčku o poloměru 40 cm.

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: Největší riziko oddělení od dráhy je v nejvyšším bodě. Zde musí platit, že odstředivá síla směrem nahoru musí být aspoň rovna gravitační síle směrem dolů. Z toho plyne hraniční podmínka pro rychlost $v_1$ v nejvyšším bodě:
   $a_o = v_1^2/R = g$,
   čili
   $v_1^2 = gr$ (*)
   
   Počáteční rychlost $v_0$ před vjezdem do smyčky musí být větší. Při pohybu bez tření se rychlost při průjezdu smyčkou mění jen proto, že se kinetická energie mění na potenciální polohovou energii. V nejvyšším bodě naroste výška o $2R$. Vztah rychlostí ze zákona zachování energie je
   $\frac{1}{2}v_0^2 = 2gR + \frac{1}{2}v_1^2 $, čili
   $v_0^2 = v_1^2 + 4gR$
   Nyní za $v_1^2$ dosadíme z rovnice (*) a máme:
   $v_0^2 = gr + 4gR = 5 gR$
   a finálně
   $v_0 = \sqrt{5gR}$
   Dosadíme zadanou hodnotu $R = 0{,}4\jed{m}$ a máme
   $v_0 = 4{,}43\jed{m/s}$

   Výsledek: 4,43 m/s

Výsledky

1. 4,43 m/s