Fyzikální úlohy

Nápověda:

Nezapomeňte převést na základní jednotku.

Výsledek: 30 J

Řešení:

$W = F \cdot s = 50\,\mathrm{N} \cdot 0,6\,\mathrm{m} = 30\,\mathrm{J}$.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 147;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 15:13:23
Tags: práce,t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Pan Šňup musí působit silou stejně velkou, jako je smyková třecí síla.

Výsledek: 480 J

Řešení:

Síla pana Šňupa musí překonávat třecí sílu, pro rovnoměrné tlačení krabice tak potřebuje vyvinout sílu právě rovnou třecí síle.
Velikost smykové třecí síly je
$F_t = f \cdot F_n = fmg = 0,3 \cdot 200\,\mathrm{N} = 60\,\mathrm{N}$
$W = F \cdot s = F_t \cdot s = 60\,\mathrm{N} \cdot 8\,\mathrm{m} = 480\,\mathrm{J}$
Vykoná práci 480 J.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 148;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: Nulovou práci koná Geralt (F2), působí kolmo na posunutí.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 149;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce, rozklad sil, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 1050 J

Řešení:

Stačí si jen uvědomit, že pytel se posune o 7 metrů. Potom
$W = F \cdot s = 150\,\mathrm{N} \cdot 7\,\mathrm{m} = 1050\,\mathrm{J}.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 151;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Použijte bezostyšně W = Fs.

Výsledek: 800 N

Řešení:

Z osmi litrů může motor vykonat práci o velikosti 80 MJ. Jelikož je W = Fs, tak

$F = W/s = 8\times10^7\,\text{J} / 10^5\,\text{m} = 800\,\text{N}$.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 26;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce,t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Musíte nejprve určit velikost složky síly F3, která působí ve směru pohybu.

Výsledek: 520 J

Řešení:

Velikost složky síly F3, která působí ve směru pohybu, označme $F_p$.
Síla působí pod úhlem 30° oproti směru posunutí a složka síly ve směru posunutí má proto velikost
$F_p = F_3 \cdot \cos30° = 300\,\mathrm{N} \cdot 0,866 = 260\,\mathrm{N}$.
Práce potom je
$W = F_p \cdot s = 260\,\mathrm{N} \cdot 2\,\mathrm{m} = 520\,\mathrm{J}$.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 150;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce, rozklad sil, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: W = mgh

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 152;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: práce, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Řešení:

Aby byla konána fyzikální práce, tak na těleso (zde činku) musí působit síla a musí tam být také nějaké posunutí (ve směru či proti směru síly). Pokud bych činku držel skutečně dokonale na jednom místě, tak by vykonaná práce na čince byla nulová, protože posunutí je nulové. Tak by to jistě bylo, kdybychom postavili činku na stůl. Při držení pomocí svalů se ale činka ve skutečnosti trochu hýbe - svaly a ruce se nám trošičku klepou, takže tam jsou malá posunutí tam a zpět. Když činku o kousíček posuneme nahoru, konáme kladnou práci na čince, když ji brzdíme při pohybu dolů, konáme na čince malou zápronou práci. Svaly ale pak práci konají, spotřebovávají energii a časem se unaví.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 238;
Poslední aktualizace: 2025-04-08 15:42:22
Tags: práce, t-prace
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 1/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 145 cm

Řešení:

Práce při zvedání tělesa proti gravitaci se rovná přírůstku potenciální energie:

$W = m g (h - h_0)$

Kde:

• $W = 6\ \text{J}$
• $m = 0{,}8\ \text{kg}$
• $g = 10\ \text{m/s}^2$
• $h_0 = 0{,}70\ \text{m}$ (výška stolu)
• $h$ = hledaná výška nad zemí

Dosadíme:

$6 = 0{,}8 \cdot 10 \cdot (h - 0{,}70)$
$6 = 8(h - 0{,}70)$
$\frac{6}{8} = h - 0{,}70$
$0{,}75 = h - 0{,}70$
$h = 0{,}75 + 0{,}70 = 1{,}45\ \text{m}$

Půllitr musíte zvednout do výšky 1,45 metru nad zemí.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 207;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: potenciální energie, t-potencialni-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 2/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Řešení:

Budiž hmotnost paní Mrtvé 60 kg. Potenciální energii vždy určíme ze vztahu $E_p = mgh$.
Vždy ale musíme určit, vůči čemu odměřujeme výšku.
Paní Mrtvá má těžiště zhruba 1 m nad podlahou. Odtud odvodíme, že výška patra jsou zhruba 3 metry.
a) vůči silnici - 60 x 10 x 13 = 7800 J
b) vůči panu Živnému, který bydlí ve druhém patře - dělí je 3 patra, výškový rozdíl je 9 metrů, čili 60 x 10 x 9 = 5400 J.
c) vůči podlaze bytu paní Mrtvé - těžiště jeden metr nad podlahou, čili 600 J.
d) vůči stropu jejího bytu - paní Mrtvá je pod stropem ve výšce asi 2 metry. Světe div se, její potenciální energie vůči stropu bude záporná v hodnotě -1200 J
e) vůči paní Zkyslé, která bydlí o patro výš - výška patra 3 metry, čili potenciální energie paní Mrtvé je -1800 J.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 217;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: potenciální energie, t-potencialni-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 2/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 867 m.n.m.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 183;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:52:09
Tags: potenciální energie, t-potencialni-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 2/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 235;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: potenciální energie, t-potencialni-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 2/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 13473 J

Řešení:

Dvě sekundy po seskoku bude mít rychlost $v = 2g$ = 19,62 m/s.
Z toho plyne kinetická energie
$E_k = \frac{1}{2}mv^2$ = $\frac{1}{2} \cdot 70\,\mathrm{kg} \cdot (30\,\mathrm{m/s})^2$ = 13473 J.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 181;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: kinetická energie, t-kineticka-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 69 m/s

Řešení:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
Vyjádříme $v$:
$v = \sqrt{2E_k/m}$ $= \sqrt{2000\,\mathrm{J} / 0.42\,\mathrm{kg}} = 69\,\mathrm{m/s}$.
To je 248 km/h a je to již pravděpodobně nad běžné lidské možnosti.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 185;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: kinetická energie, pohybová energie, t-kineticka-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 3,2 kW

Řešení:

$\eta = P/P_0$, čili $P_0 = P/\eta$ = 2,4 kW / 0,75 = 3,2 kW.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 222;
Poslední aktualizace: 2025-11-16 10:55:30
Tags: výkon, účinnost, t-vykon
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 3,6 MJ

Řešení:

$E = P_0 t$ = 1000 W 3600 s = 3 600 000 J = 3,6 MJ.
Zároveň ale spotřebovanou energii mohu vyjádřit jako 1 kW 1 h = 1 kWh.
Tedy topení spotřebuje energii o velikosti 1 kilowatthodina = 3,6 MJ.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 224;
Poslední aktualizace: 2025-11-16 10:55:57
Tags: výkon, t-vykon
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Převeďte na m/s. Určete koncovou a počáteční kinetickou energii a následně spočtěte rozdíl.

Výsledek: 1,3 Kč

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 182;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: kinetická energie, t-kineticka-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 4700000000 -krát

Řešení:

Zadání:

• Průměr asteroidu: $d = 10\ \text{km} = 10\,000\ \text{m}$
• Hustota asteroidu: $\rho \approx 3500\ \text{kg/m}^3$
• Rychlost dopadu: $v = 18\,000\ \text{m/s}$
• Energie jedné bomby z Hirošimy: $E_{\text{Hirošima}} = 63 \cdot 10^{12}\ \text{J}$

1. Výpočet kinetické energie asteroidu

Objem koule:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{d}{2} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(5000\right)^3$

$V \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 1{,}25 \cdot 10^{11} \approx 5{,}24 \cdot 10^{11}\ \text{m}^3$

Hmotnost asteroidu:

$m = \rho V = 3500 \cdot 5{,}24 \cdot 10^{11} \approx 1{,}83 \cdot 10^{15}\ \text{kg}$

Kinetická energie (dosazení v základních jednotkách):

$E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}83 \cdot 10^{15} \cdot (1{,}8 \cdot 10^4)^2$

$E \approx 0{,}5 \cdot 1{,}83 \cdot 10^{15} \cdot 3{,}24 \cdot 10^8 \approx 2{,}96 \cdot 10^{23}\ \text{J}$

2. Kolika bombám z Hirošimy to odpovídá?

Počet bomb:

$\frac{2{,}96 \cdot 10^{23}}{63 \cdot 10^{12}} \approx 4{,}7 \cdot 10^{9}$

Odpověď:
Dopad asteroidu o průměru 10 km uvolnil energii přibližně 4,7 miliardy krát větší, než výbuch atomové bomby v Hirošimě.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 211;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: kinetická energie, t-kineticka-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 96 %

Řešení:

Ve vztahu pro kinetickou energii je rychlost ve druhé mocnině. Poměr skutečné a povolené rychlosti je 7/5. Kinetická energie bude větší faktorem $(7/5)^2 = 1,96$.
Kinetická energi vzroste o 96 %.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 236;
Poslední aktualizace: 2025-04-08 08:42:56
Tags:
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 29,2 %

Řešení:

Kinetická energie je úměrná druhé mocnině rychlosti a tedy rychlost je úměrná odmocnině z kinetické energie. Pokud je původní kinetická energie rovna 1, tak nová je 1/2, a pokud je původní rychlost 1, tak nová rychlost bude $\sqrt{1/2} = 0,707$.
Změna rychlosti pak je 1-0,707 = 0,293.
Čili musí snížit rychlost of 29,3%.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 237;
Poslední aktualizace: 2025-04-08 08:49:33
Tags:
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Odhadněte hustotu asteroidu na základě jeho materiálového složení. Napište si vztah pro kinetickou energii a za hmotnost dosaďte hustotu a poloměr. Vyjádřete poloměr.

Výsledek: Aby měl dopad asteroidu stejnou energii jako výbuch atomové bomby v Hirošimě, musel by mít asteroid

Řešení:

Odhad velikosti asteroidu s energií výbuchu atomové bomby v Hirošimě

Zadání:

• Uvolněná energie: $E = 63\ \text{TJ} = 6{,}3 \cdot 10^{13}\ \text{J}$
• Rychlost dopadu: $v = 18\ \text{km/s} = 18{,}000\ \text{m/s}$
• Hustota asteroidu (kámen + železo): $\rho \approx 3500\ \text{kg/m}^3$
• Hledáme průměr $d$ asteroidu (předpokládáme kulový tvar)

1. Kinetická energie asteroidu při dopadu:
$E = \frac{1}{2}mv^2$

Dosadíme za hmotnost tělesa hmotnost koule:
$m = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d}{2} \right)^3$

$\Rightarrow E = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d}{2} \right)^3 \cdot v^2$
$\Rightarrow E = \frac{\pi}{6} \cdot \rho \cdot d^3 \cdot v^2$

2. Vyjádříme průměr $d$ z rovnice:

$d^3 = \frac{6E}{\pi \rho v^2}$

Dosadíme hodnoty:
$d^3 = \frac{6 \cdot 6{,}3 \cdot 10^{13}}{\pi \cdot 3500 \cdot (1{,}8 \cdot 10^4)^2}$

Spočítáme:
$(1{,}8 \cdot 10^4)^2 = 3{,}24 \cdot 10^8$
$\pi \cdot 3500 \cdot 3{,}24 \cdot 10^8 \approx 3{,}57 \cdot 10^{12}$
Čitatel: $6 \cdot 6{,}3 \cdot 10^{13} = 3{,}78 \cdot 10^{14}$

$\Rightarrow d^3 = \frac{3{,}78 \cdot 10^{14}}{3{,}57 \cdot 10^{12}} \approx 106$
$\Rightarrow d \approx \sqrt[3]{106} \approx 4{,}75\ \text{m}$

Odpověď:
Aby měl dopad asteroidu stejnou energii jako výbuch atomové bomby v Hirošimě, musel by mít asteroid průměr přibližně 4,75 metru.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 209;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:34:44
Tags: kinetická energie, t-kineticka-energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 3/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Řešení:

Vodní elektrárna či přečerpávací elektrárna. Voda klesá a ztrácí potenciální energii, přitom roztáčí turbínu (kinetická energie). Turbína roztáčí generátor střídavého proudu. To už je ale jiný příběh.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 208;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 4/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 230;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:52:57
Tags: t-ZZME, zákon zachování mechanické energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 4/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Řešení:

Stojí na startu - chemická energie molekul ve svalech. Svaly pak konají práci - roste kinetická energie běžce. Když zapíchne tyčku, tak se tyčka začne ohýbat a kinetická energie běžce se přeměňuje na deformační energii uloženou v tyčce. Poté když skokan stoupá nahoru se deformační energie tyčky přeměňuje na tíhovou potenciální energii skokana. Když překonává nahoře laťku, tak dosáhl maxima potenciální tíhové energie a ta se pak postupně přeměňuje na kinetickou energii, jak se zrychluje jeho pád. Nakonec při dopadu na žíněnku se kinetická přemění na teplo a částečně i na zvukovou energii. Při dopadu se totiž žíněnka i skokan trošku zahřejí.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 210;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 14:55:04
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 4/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 11,7 m/s

Řešení:

Při skoku ze třetího patra máme dvě patra pod sebou. Výška patra bývá okolo 3 m a při skoku z okna tak lze odhadnout, že výška nad zemí je třeba 7 metrů.
Zákon zachování energie říká, že součet potenciální a kinetické na začátku i na konci bude stejný:
$E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2}$
Počáteční kinetická energie je nulová, stejně tak jako koncová potenciální energie. Tedy:
$E_{p1} + 0 = 0 + E_{k2}$
Čili vztah se redukuje na
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$,
což odpovídá tomu, že se Veškerá potenciální energie přemění na kinetickou energii. Neznámá je rychlost $v$, kterou chceme ze vztahu osamostatnit.
V první řadě si všimneme, že na obou stranách můžeme vykrátit hmotnost a dostaneme
$gh = \frac{1}{2}v^2$
Obě strany násobíme dvěma a máme
$2gh = v^2$
čili
$v = \sqrt{2gh}$ $= \sqrt{2 \cdot 9,8\,\mathrm{m/s^2} \cdot 7\,\mathrm{m}}$ = 11,7 m/s = 42,2 km/h.
Je to hodně nebo málo? Zkuste někdy jít pomalou chůzí rychlostí 2 km/h a jen tak narazit do stěny. Uvidíte, jak se potlučete...

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 194;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 494 m

Řešení:

Zákon zachování energie:

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g' h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g' h_2$

se zjednoduší, protože je počáteční výška nulová a koncová rychlost je nulová, čili

$\frac{1}{2} m v_1^2 = m g h_2$

Buď rovnou dosadíme a potom vyjádříme $h_2$, nebo vyjádříme ještě "s písmenky".
Samozřejmě po cestě krátíme $m$:

$h_2 = v_1^2/2g$

Dosadíme v základních jednotkách, přičemž gravitační zrychlení na Měsící je $g = 1,62\,\mathrm{m/s^2}$:

$h_2 = 40^2/3,24 = 494\,\mathrm{m}$.

Vystoupá do výšky 494 metrů! To je překvapivě hodně vysoko.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 213;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Součet kinetické a potenciálná tíhové energie na začátku a na konci musí být stejný. Z toho vyplyne rovnice, kde hledaná rychlost bude jediná neznámá.

Výsledek: 8,72 m/s

Řešení:

Protože odpor vzduchu zanedbáváme, platí zákon zachování mechanické energie $E_1 = E_2$. Rovnice je tedy:

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2$

V tuto chvíli bychom do vztahu mohli dosadit všechny známé hodnoty a vyjádřit finální rychlost. Zde si však ještě ponecháme písmenka a vyjádříme rychlost $v_2^2$ obecně:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 - m g h_2$

$m$ se pokrátí a dostaneme:
$v_2^2 = v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2)$

Dosadíme známé hodnoty:
$v_2^2 = 6^2 + 2 \cdot 10 \cdot (10 - 8) = 65$

$v_2 = \sqrt{76} \approx 8{,}72 \, \text{m/s}$

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 27;
Poslední aktualizace: 2025-11-16 11:00:49
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Řešení:

Počáteční mechanická energie vozíku je

$E = \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1$

Výsledek nebude záviset na hmotnosti vozíku a můžu si klidně říci, že má hmotnost 1 kg, i když to zní divně. Pak mi vyjde počáteční mechanická energie 312,5 J.

Ve výšce 35 metrů by ale vozík musel mít energii o velikosti 350 J, kterou nemá. Hrb tedy nepřejede.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 214;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 23,7 m/s

Řešení:

Protože odpor vzduchu zanedbáváme, platí zákon zachování mechanické energie $E_1 = E_2$. Rovnice je tedy:

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2$

V tuto chvíli bychom do vztahu mohli dosadit všechny známé hodnoty a vyjádřit finální rychlost. Zde si však ještě ponecháme písmenka a vyjádříme rychlost $v_2^2$ obecně:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 - m g h_2$

$m$ se pokrátí a dostaneme:
$v_2^2 = v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2) = v_1^2 + 2 g \Delta h $

Vidíme, že zde vystupuje rozdíl počáteční a koncové výšky. Ten je v našem případě 25 m. Dosadíme

$v_2^2 = 8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 25$

$v_2 = \sqrt{564} \approx 23{,}7 \, \text{m/s}$.

To už je slušná rychlost (85 km/h).

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 215;
Poslední aktualizace: 2026-08-25 12:16:11
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 233;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 127,1 m

Řešení:

Zadání:

• Ve výšce $h_1 = 100\ \text{m}$ je rychlost $v_1 = 240\ \text{m/s}$
• Hledáme výšku $h$, kde $v = \frac{1}{2}v_0$
• Gravitační zrychlení na Měsíci: $g_M \approx 1{,}62\ \text{m/s}^2$

Musíme nejdříve určit počáteční rychlost $v_0$. Ze zákona zachování energie platí
Pro tu platí:

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + g_M h_1$.

čili

$v_0 = \sqrt{v_1^2 + 2 g_M h_1}$

Dosadíme a máme $v_0$ = 23,43 m/s.

Chceme vědět, v jaké výšce $h$ bude rychlost poloviční. Ze zákona zachování energie mezi počátečním stavem a koncovým stavem plyne:

$ \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}(v_0/2)^2 + g_M h$.

Výjádříme $h$:

$h = \frac{3}{8} \cdot \frac{v_0^2}{g_M}$

Dosazením za $v_0$ máme $h$ = 127,1 m.
Také můžeme dosadit za $v_0$ z předchozího vztahu a dostaneme

$h = \frac{3}{8} \cdot \frac{v_1^2 + 2 g_M h_1}{g_M}$ = $\frac{3}{8} \cdot (\frac{v_1^2}{g_M} + 2 h_1)$

což po dosazení dá stejný výsledek.

Ve výšce 127 m bude rychlost míče poloviční oproti počáteční.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 212;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Potřebujete určit, v jaké výšce nad rovnovážnou polohou kulička na začátku je. K tomu bude potřeba vědět, jaká je svislá vzdálenost kuličky od místa závěsu. K tomu si nakreslete trojúhelník a využijte goniometrickou funkci.

Výsledek: 1,1 m/s

Řešení:

V nejvyšším bodě má kulička pouze potenciální energii (vzhledem k nejnižší poloze), v dolní části se tato energie přemění na kinetickou. Pomocí zákona zachování mechanické energie tedy platí:

$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$
Zkrátíme hmotnost:
$$ gh = \frac{1}{2}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} $$

Musíme ale nejprve určit výšku $h$, o kterou se kulička zvedla při výchylce.

Když si dobře nakreslíte obrázek, tak zjistíte, že počáteční výška nad rovnovážnou polohou musí být

$h = L(1 - \cos\alpha)$,

kde $L$ je délka závěsu a $\alpha$ úhel náklonu.
Pro naše zadané hodnoty vyjde $h$ = 0,060 m = 6 cm.
Dosazením máme

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0,06}$ = 1,1 m/s.

Rychlost průchodu nejnižším bodem bude zhruba 1,1 m/s.

obr. skrýt | S | M | L | XL

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 216;
Poslední aktualizace: 2025-04-05 13:22:44
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 5/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Nápověda:

Využijte zákon zachování hybnosti a zákon zachování mechanické energie, čili celková hybnost a kinetická energie před srážkou je mají stejnou velikost jako po srážce. Z toho dostanete dvě rovnice pro dvě neznámé rychlosti.

Výsledek: 0.666 m/s

Řešení:

Menší kouli označíme jako 1, větší jako 2. Rychlosti uvádíme v jednotce m/s a hmotnosti v jednotce kg. Hmotnosti jsou $m_1 = 1$, $m_2 = 2$. Před srážkou jsou rychlosti $v_1 = 1$, $v_2 = 0$. Rychlosti po srážce označme klidně $x$ (menší koule) a $y$ (větší koule).
Zákon zachování hybnosti říká:

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1x + m_2y$.

Po dosazení máme:

$1\cdot1 + 0 = 1x + 2y$.

Zákon zachování energie:

$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1x^2 + \frac{1}{2}m_1y^2$.

Vynásobíme celou rovnici dvěma a dosadíme:

$1\cdot1^2 + 0 = 1\cdot x^2 + 2\cdot y^2$

čili

$1 = x^2 + 2y^2 \quad\mathrm{[1]}$.

Ze vztahu pro hybnost máme rovnici

$1 = x + 2y$, tudíž $x = 1 - 2y$.

Za $x$ dosadíme do rovnice [1]:

$1 = (1-2y)^2 + 2y^2$

a upravíme

$6y^2 - 4y = y(6y-4) = 0$.

Máme dvě řešení:

$y_1 = 2/3$ a $y_2 = 0$.

Pro ně dopočteme $x_1 = -1/3$ a $x_2 = 1$.

Tedy první řešení praví, že těžší koule odletí rychlostí 2/3 doprava a lehčí koule se odrazí rychlostí 1/3 zpět, tedy doleva.
Co ale znamená to druhé řešení? Tady si všimneme, že rychlosti na konci jsou úplně stejné jako na začátku: K žádné srážce nedošlo, koule se minuly! To je úplně v pořádku, do rovnic zákonů zachování jsme přeci nijak nezanesli poznatek, že se koule skutečně srazí.

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 362;
Poslední aktualizace: 2026-08-28 10:47:43
Tags: dokonale pružná srážka, zákon zachování hybnosti, zákon zachování energie
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 7/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 40,2 stupňů

Řešení:

1. Rozvaha:
   Budeme uvažovat zachování mechanické energie. Počáteční polohová energie a počáteční kinetická energie se po průchodu rovnovážnou polohou přemění na polohovou energii v maximální výchylce na druhé straně.

2. Známé veličiny:
   $l=2\,\mathrm{m}$
   $\alpha_0=30^\circ$
   $v_0=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
   $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

Hledáme:
$\alpha_{\max}$

1. Výpočet:
   Výška kuličky nad rovnovážnou polohou při výchylce $\alpha$ je
   $h=l(1-\cos\alpha)$

Zákon zachování energie:
$mgl(1-\cos\alpha_0)+\frac12 mv_0^2=mgl(1-\cos\alpha_{\max})$

Po zkrácení $m$:

$gl(1-\cos\alpha_0)+\frac12 v_0^2=gl(1-\cos\alpha_{\max})$

Odtud:

$1-\cos\alpha_{\max}=1-\cos\alpha_0+\frac{v_0^2}{2gl}$

$\cos\alpha_{\max}=\cos\alpha_0-\frac{v_0^2}{2gl}$

Dosazení:

$\cos\alpha_{\max}=\cos 30^\circ-\frac{3^2}{2\cdot 9{,}81\cdot 2}$

$\cos\alpha_{\max}=0{,}8660-\frac{9}{39{,}24}$
\approx 0{,}764$ $\alpha{\max}=\arccos(0{,}764)\approx 40{,}2^\circ$ 4) Výsledek: Kyvadlo se po průchodu rovnovážnou polohou vychýlí maximálně přibližně na $\alpha{\max}\approx 40{,}2^\circ$.

obr. skrýt | S | M | L | XL

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 218;
Poslední aktualizace: 2026-03-17 09:19:25
Tags: zákon zachování mechanické energie, t-ZZME
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 7/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):

Výsledek: 4,43 m/s

Řešení:

Největší riziko oddělení od dráhy je v nejvyšším bodě. Zde musí platit, že odstředivá síla směrem nahoru musí být aspoň rovna gravitační síle směrem dolů. Z toho plyne hraniční podmínka pro rychlost $v_1$ v nejvyšším bodě:
$a_o = v_1^2/R = g$,
čili
$v_1^2 = gr$ (*)

Počáteční rychlost $v_0$ před vjezdem do smyčky musí být větší. Při pohybu bez tření se rychlost při průjezdu smyčkou mění jen proto, že se kinetická energie mění na potenciální polohovou energii. V nejvyšším bodě naroste výška o $2R$. Vztah rychlostí ze zákona zachování energie je
$\frac{1}{2}v_0^2 = 2gR + \frac{1}{2}v_1^2 $, čili
$v_0^2 = v_1^2 + 4gR$
Nyní za $v_1^2$ dosadíme z rovnice (*) a máme:
$v_0^2 = gr + 4gR = 5 gR$
a finálně
$v_0 = \sqrt{5gR}$
Dosadíme zadanou hodnotu $R = 0{,}4\jed{m}$ a máme
$v_0 = 4{,}43\jed{m/s}$

Autor: Marek Scholz (admin) ID: 510;
Poslední aktualizace: 2026-06-29 13:01:04
Tags:
Link na kategorii; Pozice v kategorii: 8/9;

Zdroj či inspirace úlohy:
Zdroj obrázku (Zadání):
Zdroj obrázku (Další text):
Zdroj obrázku (Řešení):