Seznam úloh

1. Výška těžiště panáčků

   Helmut si vyrobil čtyři panáčky jako na obrázku, očíslujme je zleva od 1 do 4. Panáček č.1 je ze dvou plných koulí, panáček č.2 je z dutých koulí s tenkou stěnou, panáček č.3 je z plných kruhových disků a panáček č.4 je z tenkých prstenců. Ve všech případech má spodní část poloměr 20 cm a vrchní část poloměr 10 cm.
   a) Bez počítání určete číslo panáčka, jehož těžiště leží nejvýš.
   b) Určete výšku těžiště panáčka č.1
   c) Určete výšku těžiště panáčka č.2
   d) Určete výšku těžiště panáčka č.3
   e) Určete výšku těžiště panáčka č.4

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: Určíme výšky těžiště.
   Ve všech případech je výška težiště spodní části $y_1 = 10\jed{cm}$ a výška těžiště vrchní části $y_2 = 25\jed{cm}$.
   Výška těžiště celého panáčka je
   $y_T = (m_1y_1 + m_2y_2)/(m_1+m_2)$
   Ve všech případech má spodní část dvojnásobný rozměr oproti vrchní části.
   
   č.1) Hmotnost plné koule jde se třetí mocninou poloměru, spodní koule je proto 8x těžší než ta vrchní. Výška těžiště panáčka je tedy
   $y_T = (8y_1 + 1y_2)/9 = (8\cdot10 + 25)/9 = 11{,}67\jed{cm}$
   
   č.2) Hmotnost duté koule jde s druhou mocninou poloměru, spodní koule je proto 4x těžší než ta vrchní. Výška těžiště panáčka je tedy
   $y_T = (4y_1 + 1y_2)/5 = (4\cdot10 + 25)/5 = 13\jed{cm}$
   
   č.3) Hmotnost disku jde také s druhou mocninou poloměru, spodní disk je proto 4x těžší než ten vrchní a výška těžiště je jako v předchozím případe 13 cm.
   
   č.4) Hmotnost prstence jde s první mocninou poloměru, spodní disk je proto 2x těžší než ten vrchní a výška těžiště je
   $y_T = (2y_1 + 1y_2)/3 = (2\cdot10 + 25)/3 = 15\jed{cm}$
   
   Těžiště má zjevně nejvýš panáček č.4 složený z prstenců.

   Výsledek: 4 ; 11,67 cm; 13 cm; 13 cm; 15 cm;

Výsledky

1. 4 ; 11,67 cm; 13 cm; 13 cm; 15 cm;