Seznam úloh

1. Srážka s nehybnou koulí

   Máme menší žlutou kouli s hmotností 1 kg a větší zelenou kouli o hmotnosti 2 kg. Menší žlutá koule přilétá zleva rychlostí 1 m/s a čelně narazí do nehybné zelené koule. Srážka je dokonale pružná, tedy zachová se mechanická energie a nedojde k žádné přeměně na teplo. Jakou rychlostí se po srážce bude pohybovat větší zelená koule? (A samozřejmě i dopočítejte, jakou rychlostí ta menší.)

   [má hint] ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Nápověda: Využijte zákon zachování hybnosti a zákon zachování mechanické energie, čili celková hybnost a kinetická energie před srážkou je mají stejnou velikost jako po srážce. Z toho dostanete dvě rovnice pro dvě neznámé rychlosti.

   Řešení: Menší kouli označíme jako 1, větší jako 2. Rychlosti uvádíme v jednotce m/s a hmotnosti v jednotce kg. Hmotnosti jsou $m_1 = 1$, $m_2 = 2$. Před srážkou jsou rychlosti $v_1 = 1$, $v_2 = 0$. Rychlosti po srážce označme klidně $x$ (menší koule) a $y$ (větší koule).
   Zákon zachování hybnosti říká:
   
   $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1x + m_2y$.
   
   Po dosazení máme:
   
   $1\cdot1 + 0 = 1x + 2y$.
   
   Zákon zachování energie:
   
   $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1x^2 + \frac{1}{2}m_1y^2$.
   
   Vynásobíme celou rovnici dvěma a dosadíme:
   
   $1\cdot1^2 + 0 = 1\cdot x^2 + 2\cdot y^2$
   
   čili
   
   $1 = x^2 + 2y^2 \quad\mathrm{[1]}$.
   
   Ze vztahu pro hybnost máme rovnici
   
   $1 = x + 2y$, tudíž $x = 1 - 2y$.
   
   Za $x$ dosadíme do rovnice [1]:
   
   $1 = (1-2y)^2 + 2y^2$
   
   a upravíme
   
   $6y^2 - 4y = y(6y-4) = 0$.
   
   Máme dvě řešení:
   
   $y_1 = 2/3$ a $y_2 = 0$.
   
   Pro ně dopočteme $x_1 = -1/3$ a $x_2 = 1$.
   
   Tedy první řešení praví, že těžší koule odletí rychlostí 2/3 doprava a lehčí koule se odrazí rychlostí 1/3 zpět, tedy doleva.
   Co ale znamená to druhé řešení? Tady si všimneme, že rychlosti na konci jsou úplně stejné jako na začátku: K žádné srážce nedošlo, koule se minuly! To je úplně v pořádku, do rovnic zákonů zachování jsme přeci nijak nezanesli poznatek, že se koule skutečně srazí.

   Výsledek: 0.666 m/s

Nápovědy

• 1) Využijte zákon zachování hybnosti a zákon zachování mechanické energie, čili celková hybnost a kinetická energie před srážkou je mají stejnou velikost jako po srážce. Z toho dostanete dvě rovnice pro dvě neznámé rychlosti.

Výsledky

1. 0.666 m/s