Seznam úloh

1. Hatšepsutino kyvadlo

   Hatšepsut zavěsila kovovou kuličku na 2 metry dlouhý provázek, který zavěsila ke stropu, čímž dostala kyvadlo. Kyvadlo pak vychýlila a kuličce udělila počáteční rychlost 3 m/s a nechala ji kývat. Počáteční úhel vychýlení byl 30° z rovnovážné polohy. Hatšepsut by zajímalo, do jakého maximálního úhlu se kyvadlo vychýlí po průchodu rovnovážnou polohou.

   ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Řešení: 1) Rozvaha:
   Budeme uvažovat zachování mechanické energie. Počáteční polohová energie a počáteční kinetická energie se po průchodu rovnovážnou polohou přemění na polohovou energii v maximální výchylce na druhé straně.
   
   2) Známé veličiny:
   $l=2\,\mathrm{m}$
   $\alpha_0=30^\circ$
   $v_0=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
   $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$
   
   Hledáme:
   $\alpha_{\max}$
   
   3) Výpočet:
   Výška kuličky nad rovnovážnou polohou při výchylce $\alpha$ je
   $h=l(1-\cos\alpha)$
   
   Zákon zachování energie:
   $mgl(1-\cos\alpha_0)+\frac12 mv_0^2=mgl(1-\cos\alpha_{\max})$
   
   Po zkrácení $m$:
   
   $gl(1-\cos\alpha_0)+\frac12 v_0^2=gl(1-\cos\alpha_{\max})$
   
   Odtud:
   
   $1-\cos\alpha_{\max}=1-\cos\alpha_0+\frac{v_0^2}{2gl}$
   
   
   $\cos\alpha_{\max}=\cos\alpha_0-\frac{v_0^2}{2gl}$
   
   Dosazení:
   
   $\cos\alpha_{\max}=\cos 30^\circ-\frac{3^2}{2\cdot 9{,}81\cdot 2}$
   
   $\cos\alpha_{\max}=0{,}8660-\frac{9}{39{,}24}$
   \approx 0{,}764$
   $\alpha_{\max}=\arccos(0{,}764)\approx 40{,}2^\circ$
   
   
   4) Výsledek:
   Kyvadlo se po průchodu rovnovážnou polohou vychýlí maximálně přibližně na
   $\alpha_{\max}\approx 40{,}2^\circ$.

   Výsledek: 40,2 stupňů

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

Výsledky

1. 40,2 stupňů