Seznam úloh

1. Habakukovo kyvadlo

   Habakuk zavěsil kovovou kuličku na 1 metr dlouhý provázek, čímž dostal kyvadlo. Kyvadlo pak vychýlil o úhel 20°z rovnovážné polohy a pustil. Zajímá ho, jaké největší rychlosti kulička během kývání dosáhne. Odpor vzduchu zanedbáme a budeme uvažovat g = 10 m/s2.

   [má hint] ⊕ ⊖

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

   ---

   Nápověda: Potřebujete určit, v jaké výšce nad rovnovážnou polohou kulička na začátku je. K tomu bude potřeba vědět, jaká je svislá vzdálenost kuličky od místa závěsu. K tomu si nakreslete trojúhelník a využijte goniometrickou funkci.

   Řešení: V nejvyšším bodě má kulička pouze potenciální energii (vzhledem k nejnižší poloze), v dolní části se tato energie přemění na kinetickou. Pomocí zákona zachování mechanické energie tedy platí:
   
   $$
   mgh = \frac{1}{2}mv^2
   $$
   Zkrátíme hmotnost:
   $$
   gh = \frac{1}{2}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh}
   $$
   
   Musíme ale nejprve určit výšku $h$, o kterou se kulička zvedla při výchylce.
   
   Když si dobře nakreslíte obrázek, tak zjistíte, že počáteční výška nad rovnovážnou polohou musí být
   
   $h = L(1 - \cos\alpha)$,
   
   kde $L$ je délka závěsu a $\alpha$ úhel náklonu.
   Pro naše zadané hodnoty vyjde $h$ = 0,060 m = 6 cm.
   Dosazením máme
   
   $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0,06}$ = 1,1 m/s.
   
   Rychlost průchodu nejnižším bodem bude zhruba 1,1 m/s.

   Výsledek: 1,1 m/s

   

   obr. skrýt | S | M | L | XL

Nápovědy

• 1) Potřebujete určit, v jaké výšce nad rovnovážnou polohou kulička na začátku je. K tomu bude potřeba vědět, jaká je svislá vzdálenost kuličky od místa závěsu. K tomu si nakreslete trojúhelník a využijte goniometrickou funkci.

Výsledky

1. 1,1 m/s