Helmut byl na dovolené na Měsíci. Kolmo vzhůru vykopl míč počáteční rychlostí $v_0$. Ve výšce $h_1$ = 100 m nad povrchem byla rychlost míče $v_1$ = 15 m/s. V jaké výšce nad povrchem byla rychlost míče poloviční oproti počáteční rychlosti?
Řešení: **Zadání:**
- Ve výšce $h_1 = 100\ \text{m}$ je rychlost $v_1 = 240\ \text{m/s}$
- Hledáme výšku $h$, kde $v = \frac{1}{2}v_0$
- Gravitační zrychlení na Měsíci: $g_M \approx 1{,}62\ \text{m/s}^2$
Musíme nejdříve určit počáteční rychlost $v_0$. Ze zákona zachování energie platí
Pro tu platí:
$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + g_M h_1$.
čili
$v_0 = \sqrt{v_1^2 + 2 g_M h_1}$
Dosadíme a máme $v_0$ = 23,43 m/s.
Chceme vědět, v jaké výšce $h$ bude rychlost poloviční. Ze zákona zachování energie mezi počátečním stavem a koncovým stavem plyne:
$ \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}(v_0/2)^2 + g_M h$.
Výjádříme $h$:
$h = \frac{3}{8} \cdot \frac{v_0^2}{g_M}$
Dosazením za $v_0$ máme $h$ = 127,1 m.
Také můžeme dosadit za $v_0$ z předchozího vztahu a dostaneme
$h = \frac{3}{8} \cdot \frac{v_1^2 + 2 g_M h_1}{g_M}$ = $\frac{3}{8} \cdot (\frac{v_1^2}{g_M} + 2 h_1)$
což po dosazení dá stejný výsledek.
Ve výšce 127 m bude rychlost míče poloviční oproti počáteční.
Výsledek: 127,1 m