Seznam úloh

1. Relativita v urychlovači

   Urychlovač LHC (Large Hadron Collider) sestává z tunelu ve tvaru kružnice o obvodu 27 km a urychluje protony na energii 6,5 TeV (celková energie). Klidová hmotnost protonu je 938,3 MeV/c2.
   a) Jaký gamma faktor mají tyto protony?
   b) Je tomu odpovídající rychlost větší nebo menší než 0,999 c?
   c) Kolikrát větší bude relativistická hmotnost protonu než klidová?
   d) Jak dlouho trvá oběhnutí protonu tunelem pro pozorovatele v laboratoři?
   e) Jak dlouho trvá jeden oběh z pohledu majora Zemana sedícího obkročmo na protonu?

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Celková energie protonu je dána vztahem $E = mc^2 = \gamma m_0 c^2 = E_k + m_0c^2$, kde $m_0$ je klidová hmotnost a $m$ je relativistická hmotnost.

   Řešení: 1) Rozvaha:
   Použijeme vztahy speciální relativity.
   Celková energie protonu je dána vztahem
   $E = mc^2 = \gamma m_0 c^2 = E_k + m_0c^2$,
   kde $m_0$ je klidová hmotnost a $m$ je relativistická hmotnost, přičemž
   $\gamma=1/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$,
   Čas měřený v soustavě spojené s protonem bude dilatací kratší:
   $t'=\frac{t}{\gamma}$.
   
   2) Známé veličiny:
   $L=27\,\mathrm{km}=2{,}7\cdot 10^4\,\mathrm{m}$
   $E=6{,}5\,\mathrm{TeV}=6{,}5\cdot 10^6\,\mathrm{MeV}$
   $E_0=m_0c^2=938{,}3\,\mathrm{MeV}$
   
   3) Výpočet:
   a) Gamma faktor:
   $\gamma\approx \frac{E}{E_0}=\frac{6{,}5\cdot 10^6}{938{,}3}\approx 6927$
   
   b) Rychlost:
   $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
   
   $\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{6927^2}}\approx 0{,}9999999896$
   
   Tedy rychlost je větší než 0,999 c.
   
   c) Relativistická hmotnost dostaneme z klidové právě přenásobením gamma faktorem, který jsme spočítali jako 6927.
   
   d) Doba jednoho oběhu v laboratoři:
   Rychlost je tak blízká rychlosti světla, že si dovolíme pro výpočet vzít prostě v=c:
   
   $t=L/v\approx L/c = \frac{2{,}7\cdot 10^4}{2{,}998\cdot 10^8}\approx 9{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s}$
   
   $t\approx 90\,\mu\mathrm{s}$
   
   e) Doba z pohledu pozorovatele na protonu:
   $t'=\frac{t}{\gamma}\approx \frac{9{,}0\cdot 10^{-5}}{6927}\approx 1{,}3\cdot 10^{-8}\,\mathrm{s}$
   
   $t'\approx 13\,\mathrm{ns}$
   
   4) Výsledek:
   a) $\gamma\approx 6{,}93\cdot 10^3$
   b) $v\approx 0{,}9999999896\,c\approx 3{,}0\cdot 10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$
   c) Větší faktorem 6927, tedy $m\approx 1{,}16\cdot 10^{-23}\,\mathrm{kg}$
   d) V laboratoři trvá jeden oběh přibližně $90\,\mu\mathrm{s}$
   e) Pro proton trvá jeden oběh přibližně $13\,\mathrm{ns}$

   Výsledek: 6927 ; ano ; 6927 -krát; 90 $\jed{\mu s}$; 13 ns;

Nápovědy

• 1) Celková energie protonu je dána vztahem $E = mc^2 = \gamma m_0 c^2 = E_k + m_0c^2$, kde $m_0$ je klidová hmotnost a $m$ je relativistická hmotnost.

Výsledky

1. 6927 ; ano ; 6927 -krát; 90 $\jed{\mu s}$; 13 ns;