Seznam úloh

1. Relativistické skládání rychlostí

   Představme si situaci, že po kolejích vede vagon rychlostí $u$ = 60 km/h a já běžím po střeše vagonu rychlostí $v$ = 20 km/h (vůči střeše). Pak moje rychlosti pohybu vůči zemi bude $v' = u + v$ = 80 km/h. Co když by ale vagon jel rychlostí třeba 0,8 c a já jsem po střeše běžel rychlostí 0,6 c? Pak by součet dal 1,4 c, což je větší než rychlost světla a to je podle speciální teorie relativity nemožné. Jak se tedy správně mají sčítat rychlosti? Podle teorie relativity je správný vztah
   $v' = (u+v)/(1 + uv/c^2)$.
   a) Určete rychlost běžce vůči zemi pro hodnoty 0,8 c a 0,6 c.
   b) Určete rychlost běžce vůči zemi, pokud se vagon i běžec pohybují rychlostí c.
   c) Uvažujme obecnou rychlost běžce v. Zjednodušte vztah pro v' pro případ, že vagon jede rychlostí c.
   d) Aproximujte vztah pro v' v případě, že $u,v \ll c$.

   ⊕ ⊖

   ---

   Řešení: a) Dosadíme jednoduše do uvedeného vztahu a dostaneme:
   $v' = (u+v)/(1 + uv/c^2) = (0{,}6 + 0{,}8)/(1 + 0{,}6\cdot0{,}8) = 1{,}4/1{,}48 = 0{,}946$
   čili rychlost běžce vůči zemi je 0,946 c.
   
   b) Zjistíme, že pak je rychlost opět $c$.
   
   c) $v' = (c+v)/(1 + cv/c^2) = (c+v)/(1 + v/c) = c$
   
   d) Pro malé rychlosti $u,v \ll c$ bude podíl $uv/c^2$ velice malé číslo a skládání rychlostí bude opět fungovat tak, jak jsme zvyklý:
   $v' \approx u + v$.

   Výsledek:

Výsledky