Seznam úloh

1. Maximální sklon svahu

   a) Jaký je maximální sklon dlouhého svahu, aby do něj Škoda Fabia o hmotnosti 1500 kg a výkonu 54 kW mohla jet konstantní rychlostí 30 km/h?
   b) Jakou spotřebu benzínu vyjádřenou v litrech na 100 km bude auto mít, pokud uvažujeme účinnost motoru 25%? Připadá Vám celá tato situace reálná?
   (Třecí a odporové síly neuvažujte)

   [má hint] ⊕ ⊖

   ---

   Nápověda: Určete nejprve velikost síly, která táhne auto svahem dolů. Pak se také jistě bude hodit vztah $P = Fv$.

   Řešení: Hmotnost auta je $m=1500\ \mathrm{kg}$, výkon motoru $P=54\ \mathrm{kW}=5{,}4\cdot10^4\ \mathrm{W}$ a rychlost $v=30\ \mathrm{km/h}=8{,}33\ \mathrm{m/s}$.
   
   a) Při rovnoměrné jízdě do svahu musí výkon motoru vyrovnávat výkon potřebný ke zvedání auta proti gravitaci:
   
   Síla táhnoucí auto dolů je $F = mg\sin\alpha$ a dále platí $P = Fv$, čili
   
   $P=mgv\sin\alpha$.
   
   Odtud
   $\sin\alpha=\frac{P}{mgv}
   =\frac{5{,}4\cdot10^4}{1500\cdot9{,}81\cdot8{,}33}
   \approx0{,}440$,
   
   tedy
   
   $\alpha\approx26{,}1^\circ$.
   
   Maximální sklon vychází přibližně $26^\circ$. To odpovídá stoupání asi $49,%$, což je na běžnou silnici mimořádně vysoká hodnota.
   
   b) Ujedeme-li $100\ \mathrm{km}$ rychlostí $30\ \mathrm{km/h}$, trvá cesta
   
   $t=\frac{100}{30}\approx3{,}33\ \mathrm{h}=12000\ \mathrm{s}$.
   
   Motor za tuto dobu vykoná mechanickou práci
   
   $E=P t=54000\cdot12000=6{,}48\cdot10^8\ \mathrm{J}=648\ \mathrm{MJ}$.
   
   Při účinnosti $\eta=0{,}25$ musí být chemická energie benzínu
   
   $E_{\mathrm{benz}}=\frac{E}{\eta}=\frac{648}{0{,}25}=2592\ \mathrm{MJ}$.
   
   Uvažujeme-li výhřevnost benzínu přibližně $34\ \mathrm{MJ/l}$, spotřeba je
   
   $V=\frac{2592}{34}\approx76{,}2\ \mathrm{l}$.
   
   Spotřeba tedy vychází přibližně $76\ \mathrm{l/100,km}$.
   
   Celá situace není příliš reálná. Výpočet předpokládá dlouhodobý chod motoru na plný výkon a zanedbává odpor vzduchu, valivý odpor a další ztráty. Navíc svah kolem $26^\circ$ je pro běžnou silnici extrémně strmý. Ve skutečnosti by proto dosažitelný sklon byl menší a spotřeba ještě vyšší.

   Výsledek: 26,1 °; 76 l/100km;

Nápovědy

• 1) Určete nejprve velikost síly, která táhne auto svahem dolů. Pak se také jistě bude hodit vztah $P = Fv$.

Výsledky

1. 26,1 °; 76 l/100km;