Seznam úloh

1. Svit žárovky s cívkou

   Obrázek ukazuje obvod žárovky s cívkou. Ve všech případech je efektivní napětí stejné. Seřaďte situace podle jasnosti svitu žárovky od největší po nejmenší. Napište odpověď ve formě: abc.

   

   obr. skrýt | S | M | L

   ---

   Řešení:

   Výsledek: bca

2. Žárovka a indukčnost cívky

   Dokonalá cívka a žárovka jsou sériově připojeny ke zdroji střídavého napětí. Do cívky vložíme jádro. Označte správné: a) jas žárovky vzroste, b) jas žárovky klesne, c) indukčnost cívky vzroste, d) indukčnost cívky klesne, e) napětí na cívce vzroste, f) napětí na cívce klesne. Uveďte odpověď ve formě: abcdef.

   ---

   Řešení:

   Výsledek: bce

3. Žárovka, cívka a veličina

   Dokonalá cívka a rezistor jsou sériově připojeny ke zdroji střídavého napětí o frekvenci 50 Hz a amplitudě 6 V. Vyberte ty veličiny, jejichž hodnota vzroste při změně frekvence na 500 Hz:
   a) proud obvodem; b) indukčnost cívky; c) induktance cívky; d) napětí měřené na cívce; e) napětí na rezistoru; f) fázový posun mezi celkovým proudem a napětím; g) fázový posun mezi proudem a napětím na cívce;

   ---

   Řešení:

   Výsledek: cdf

4. Fázový posun proudu a napětí

   Ideální cívkou protéká střídavý proud s harmonickým průběhem, který lze popsat funkcí sinus. Uveďte, jaký je fázový rozdíl (posun) mezi proudem cívkou a napětím měřeným na cívce. Uveďte ve stupních.

   ---

   Řešení:

   Výsledek: 90 °

5. Amplituda součtu

   Graf vyobrazuje dvě funkce sinus, které jsou fázově posunuty. Jakou amplitudu bude mít funkce, která vznikne jejich součtem?

   

   obr. skrýt | S | M | L

   ---

   Řešení:

   Výsledek: 2,82

6. Fáze součtové funkce

   Mějme funkce y1 = sin(x), y2 = cos(x). Když tyto funkce sečteme, tak výsledná funkce půjde napsat ve tvaru $y = A \sin(x + \phi_0)$. Jakou hodnotu má počáteční fáze $\phi_0$?

   
   a) pi/2; b) -pi/2; c) pi/4; d) pi;

   ---

   Řešení:

   Výsledek: pi/4

7. Induktance cívky

   Mějme cívku o indukčnosti 20 mH, kterou připojíme do běžné české zásuvky. Určete: a) induktanci cívky, b) efektivní hodnotu proudu cívkou.

   ---

   Řešení: Máme cívku s indukčností $L = 20 \,\text{mH} = 0,020 \,\text{H}$ připojenou do běžné české zásuvky.
   Napětí v zásuvce má efektivní hodnotu $U_\text{ef} = 230\,\text{V}$ a frekvenci $f = 50\,\text{Hz}$.
   
   
   ### a) Induktance cívky
   
   Induktance (reaktance) cívky $X_L$ vyjadřuje "zdánlivý odpor" cívky vůči střídavému proudu a je dána vztahem:
   
   $$
   X_L = \omega L
   $$
   
   kde $\omega$ je úhlová frekvence:
   
   $$
   \omega = 2\pi f
   $$
   
   Dosazením:
   
   $$
   \omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314.16\,\text{rad/s}
   $$
   
   $$
   X_L = 314.16 \times 0.020 = 6.283\,\Omega
   $$
   
   Induktance cívky je tedy přibližně **6,28 Ω**.
   
   ---
   
   ### b) Efektivní hodnota proudu cívkou
   
   Efektivní hodnota proudu $I_\text{ef}$ je dána vztahem:
   
   $$
   I_\text{ef} = \frac{U_\text{ef}}{X_L}
   $$
   
   Dosazením:
   
   $$
   I_\text{ef} = \frac{230}{6.283} \approx 36.6\,\text{A}
   $$
   
   Efektivní hodnota proudu cívkou je tedy přibližně **36,6 A**.

   Výsledek: a) 6,3 Ohm; b) 36,6 A

8. Rezistor a cívka

   Terka disponuje spojením cívky a rezistoru s celkovou impedancí 20 Ohm. Obvod je připojen k ideálnímu zdroji střídavého napětí s amplitudou 12 V a frekvencí 5 kHz. Určete maximální hodnotu střídavého proudu obvodem.

   ---

   Řešení:

   Výsledek: 0,6 A

9. Součet napětí

   Galadriel zapojila ideální cívku a rezistor do série a připojila ke zdroji střídavého napětí. Arwen poté multimetrem změřila, že efektivní hodnota napětí na cívce byla 3 V, zatímco na rezistoru naměřila 5 V. Nakonec se jala změřit celkové efektivní napětí na spojení cívky a rezistoru. Jakou hodnotu naměřila? [má hint]

   ---

   Nápověda: Napětí na cívce je fázově posunuté oproti napětí na rezistoru, takže se napětí nesčítají jako U = U1 + U2, ale sčítají se trochu jinak, jako když sčítáme fázově posunuté sinusovky.

   Řešení: Napětí na cívce je fázově posunuté oproti napětí na rezistoru, takže se napětí nesčítají jako U = U1 + U2, ale sčítají se trochu jinak. Jedná se vlastně o sčítání fázově posunutých sinusovek a zjišťujeme amplitudu součtové sinusovky. K tomu můžeme použít znázornění pomocí fázorů, kde napětí (sinusovku) reprezentujeme vektorem. Délka vektoru = amplituda, úhel otočení vektoru = počáteční fáze. Napětí jsou vůči sobě posunuta o 90°, takže využijeme Pythagorovu větu:
   $U = \sqrt{U_1^2 + U_2^2} = 5,8\,\mathrm{V}$

   Výsledek: 5,8 V

10. RL v sérii

    Mějme dokonalou cívku o indukčnosti 50 mH a rezistor o odporu 10 Ohm, které sériově připojíme na zdroj střídavého napětí s maximální hodnotou 20 V a frekvencí 60 Hz.
    
    a) Určete induktanci cívky (rádoby odpor);
    b) Určete impedanci spojení cívky a rezistoru;
    c) Určete maximální hodnotu střídavého proudu v obvodu;
    d) Zakreslete fázový diagram pro napětí na cívce a rezistoru a zakreslete do něj také “součtové” napětí na spojení cívky a rezistoru;
    e) Z diagramu určete velikost fázového posunu mezi celkovým napětím a proudem;
    f) Zakreslete do jednoho grafu časový průběh napětí a proudu cívkou, aby byl vidět vzájemný fázový posun;
    g) Zakreslete (přibližně) do jednoho grafu časový průběh proudu a napětí na celém spojení cívky a rezistoru;

    

    obr. skrýt | S | M | L

    ---

    Řešení: Máme sériový obvod složený z ideální cívky s indukčností $L = 50 \,\text{mH} = 0,050 \,\text{H}$ a rezistoru s odporem $R = 10 \,\Omega$. Tento obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí s maximální hodnotou $U_\text{max} = 20\,\text{V}$ a frekvencí $f = 60\,\text{Hz}$.
    
    Naším cílem je určit různé parametry tohoto obvodu a zakreslit fázové diagramy a časové průběhy veličin.
    
    
    ### a) Induktance cívky
    
    Induktance (reaktance cívky) $X_L$ vyjadřuje "zdánlivý odpor" cívky vůči střídavému proudu a je dána vztahem:
    $$
    X_L = \omega L
    $$
    kde $\omega$ je úhlová frekvence:
    $$
    \omega = 2\pi f
    $$
    Dosazením:
    $$
    \omega = 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 376.99\,\text{rad/s}
    $$
    $$
    X_L = 376.99 \times 0.050 \approx 18.85\,\Omega
    $$
    Induktance cívky je tedy přibližně **18,85 Ω**.
    
    
    ### b) Impedance spojení cívky a rezistoru
    
    K výpočtu velikosti impedance použijeme Pythagorovu větu:
    
    $$
    |Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2}
    $$
    Dosazením:
    $$
    |Z| = \sqrt{10^2 + 18.85^2} = \sqrt{100 + 355.49} = \sqrt{455.49} \approx 21.35\,\Omega
    $$
    Celková impedance obvodu je tedy přibližně **21,35 Ω**.
    
    
    ### c) Maximální hodnota střídavého proudu v obvodu
    
    Maximální hodnota proudu je dána vztahem:
    
    $$
    I_\text{max} = \frac{U_\text{max}}{|Z|}
    $$
    Dosazením:
    $$
    I_\text{max} = \frac{20}{21.35} \approx 0.937\,\text{A}
    $$
    Maximální hodnota střídavého proudu v obvodu je tedy přibližně **0,937 A**.
    
    
    ### d) Fázový diagram
    
    Fázový diagram znázorňuje napětí na rezistoru a na cívce.
    
    - Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem:
    $$
    U_R = I_\text{max} R
    $$
    $$
    U_R = 0.937 \times 10 = 9.37\,\text{V}
    $$
    
    - Napětí na cívce předbíhá proud o $90^\circ$:
    $$
    U_L = I_\text{max} X_L
    $$
    $$
    U_L = 0.937 \times 18.85 \approx 17.67\,\text{V}
    $$
    
    Celkové napětí $U$ získáme jako vektorový součet:
    
    $$
    U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}
    $$
    a je samozřejmě rovno zadanému napětí 20 V.
    
    
    ### e) Fázový posun mezi napětím a proudem
    
    Fázový posun $\varphi$ je dán vztahem:
    $$
    \tan \varphi = \frac{X_L}{R}
    $$
    Dosazením:
    $$
    \tan \varphi = \frac{18.85}{10} = 1.885
    $$
    čili
    $$
    \varphi \approx 61.5^\circ
    $$
    Napětí tedy předbíhá proud o přibližně **$61.5^\circ$**.
    
    
    ### f) Časový průběh napětí a proudu na cívce
    
    Časový průběh proudu lze vyjádřit jako:
    $$
    i(t) = I_\text{max} \sin(\omega t)
    $$
    Časový průběh napětí na cívce:
    $$
    u_L(t) = U_L \sin(\omega t + 90^\circ)
    $$
    To znamená, že napětí na cívce dosahuje maxima o čtvrtinu periody dříve než proud.
    
    
    ### g) Časový průběh proudu a napětí na celém obvodu
    
    Celkové napětí je dáno vztahem:
    
    $$
    u(t) = U_\text{max} \sin(\omega t + \varphi)
    $$
    kde $\varphi \approx 61.5^\circ$. Napětí tedy předbíhá proud o tento úhel.
    V grafu vidíme, že napětí dosahuje svého maxima dříve než proud.

    Výsledek: viz řešení

11. Jednoduchý RC obvod

    Máme obvod s kondenzátorem, rezistorem a zdrojem napětí (AC/DC). Efektivní hodnota napětí zdroje je ve všech případech stejná. Seřaďte obvody podle velikosti proudu od největšího po nejmenší. Řádně zdůvodněte.

    

    obr. skrýt | S | M | L

    ---

    Řešení:

    Výsledek: 132

12. Proud po sepnutí

    Mějme jednoduchý obvod s kondenzátorem, rezistorem a zdrojem stejnosměrného napětí. Zakreslete do grafu, jaký tvar bude mít časová závislost a) napětí měřeného na kondenzátoru, b) proudu obvodem poté, co sepneme spínač.

    

    obr. skrýt | S | M | L

    ---

    Řešení:

    Výsledek: TODO

Nápovědy

• 9) Napětí na cívce je fázově posunuté oproti napětí na rezistoru, takže se napětí nesčítají jako U = U1 + U2, ale sčítají se trochu jinak, jako když sčítáme fázově posunuté sinusovky.

Výsledky

1. bca
2. bce
3. cdf
4. 90 °
5. 2,82
6. c) pi/4
7. a) 6,3 Ohm; b) 36,6 A
8. 0,6 A
9. 5,8 V
10. viz řešení
11. 132
12. TODO