Fyzikální úlohy

Řešení: Nesmíme se nechat zmást a tipnout, že průměrná rychlost je 4,5 km/h - tak to není. Průměrná rychlost je rovna "celková dráha" / "celkový čas". Délku jednosměrné cesty na Milešovku si můžeme zvolit libovolnou, výsledek bude na této volbě nezávislý. Volme třeba 1 km. Potom $v_p = 2 / (1/3 + 1/6) = 2 / (0,5) = 4\,\text{km/h}$. Můžeme si všimnout, že výsledek je harmonickým průměrem zadaných rychlostí.

Výsledek: 4 km/h

Hint: Je potřeba spočístat celkovou dráhu a celkový čas.

ID: 8; Tags: průměrná rychlost; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Rumcajs má náskok 10 minut=600 s a za tuto dobu uběhne 3000 m. Vzájemná rychlost Cipíska a Rumcajse je 8-5 = 3 m/s. Touto rychlostí bude Cipísek ukrajovat Rumcajsův náskok a bude mu to trvat zřejmě 1000 s, čili 16 minut a 40 sekund. Cipísek běží od zámku po dobu 1000 s rychlostí 8 m/s a tedy Cipísek Rumcajse dohoní 8000 m od zámku, čili 8 km.

Výsledek: 8000 m

Hint: Určete vzájemnou rychlost, tedy jakým tempem se Cipísek přibližuje vzhledem k Rumcajsovi.

ID: 9; Tags: vzájemná rychlost; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Nejprve převedeme rychlost z km/h na m/s:

$v = 100 \, \text{km/h} = 100 : 3,6 \, \text{m/s} = 27,78 \, \text{m/s}$.

Formule se rozjíždí z klidu a její změna rychlosti je tedy právě $\Delta v = 27,78\,\text{m/s}$.

Průměrné zrychlení $a$ je dáno vztahem:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{27,78 \, \text{m/s}}{2,5 \, \text{s}} = 11,11 \, \text{m/s}^2$.

Všimněme si, že to je více než gravitační zrychlení. Pokud bychom s běžným autem chtěli tolik zrychlit, zahrabaly by kola. K takovémuto zrychlení jsou potřeba speciální pneumatiky, snížené těžiště, zvýšený přítlak atp. Běžné auta zrychlí z 0 na 100 km/h za zhruba 7 sekund, zrychlení je tak oproti formuli 2-4 krát menší.

Výsledek: 11 m/s2

Hint: Nezapomeňte převést km/h na m/s!

ID: 10; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Z osmi litrů může motor vykonat práci o velikosti 80 MJ. Jelikož je W = Fs, tak

$F = W/s = 8\times10^7\,\text{J} / 10^5\,\text{m} = 800\,\text{N}$.

Výsledek: 800 N

Hint: Použijte bezostyšně W = Fs.

ID: 26; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení:

Výsledek: 16 cm

Hint: Součin hmotnosti a délky ramena musí být na obou stranách shodný.

ID: 28; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení:

Výsledek: N.m

Hint:

ID: 31; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Zákon zachování hybnosti pro tento případ říká:
$m_{\text{zločinec}} \cdot v_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$

Protože zločinec na začátku stojí, jeho počáteční rychlost $v_{\text{zločinec}} = 0$. Rovnice se zjednoduší na:
$m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}} = (m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}) \cdot v_{\text{konečná}}$

Vyjádříme konečnou rychlost $v_{\text{konečná}}$:
$v_{\text{konečná}} = \frac{m_{\text{střela}} \cdot v_{\text{střela}}}{m_{\text{zločinec}} + m_{\text{střela}}}$

Dosadíme hodnoty:
$v_{\text{konečná}} = \frac{0{,}003 \cdot 800}{70 + 0{,}003} \approx 0{,}034 \, \text{m/s}$

Výsledek: 3 cm/s

Hint: Hybnost celého systému na začátku i na konci musí být stejná.

ID: 23; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Síly mají stejnou velikost, o velikosti momentu síly tedy rozhoduje velikost ramene síly. Rameno síly zkonstruujeme tak, že silou proložíme přímku a zjišťujeme pak, jaká je nejkratší vzdálenost přímky od osy otáčení. Dojdeme tak k tomu, že rameno síly A má velikost 1 m, rameno B také 1 m, rameno C $\sqrt2$ m, rameno D má 0 m. Největším momentem působí síla C.

Výsledek: Síla C.

Hint:

ID: 33; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Síla C míří přímo do osy otáčení a má tak nulový moment. Působiště síly B je sice dál od osy, než působiště síly A, avšak rameno síly A je ve skutečnosti delší. Vzpomeňte, že délka ramene odpovídá nejkratší vzdálenosti mezi přímkou síly a osou otáčení. Nakreslete si a uvidíte, že síla A má delší rameno.

Výsledek: síla A

Hint:

ID: 35; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Rovnováha momentů sil na obou stranách páky vede na rovnici
$F_1d_1 + F_2d_2 = F_3d_3 + F_4d_4$.
Jediná neznámá bude $F_4$, protože velikosti ostatních sil známe a za síly a vzdálenosti můžeme rovnou dosadit:
$20\cdot15 + 30\cdot10 = 40\cdot11 + F\cdot20$.
$300 + 300 - 440 = F\cdot20$.
$F = (600-440)/20 = 80\,\text{N}$.
Hledaná hmotnost tak je 8 kg.

Výsledek: 8 kg

Hint: Sestavte rovnici na základě rovnováhy momentů sil na obou stranách páky, tedy $F_1d_1 + F_2d_2 = F_3d_3 + F_4d_4$. Jediná neznámá bude $F_4$.

ID: 29; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Igelitka působí momentem o velikosti $M_1 = mgd_1 = 70 \cdot 0,32 = 22,4\,\mathrm{Nm}$.
Stejným momentem musíme působit při zvedání tyčky. Pozor ale, Rameno naší síly má velikost 32 + 38 = 70 cm.
To vede na rovnici:
$F \cdot 0,70 = 22,4$, čili $F = 22,4/0,70 \approx 32\,\text{N}$.

Výsledek: 32 N

Hint:

ID: 30; Tags: moment síly, rovnováha na páce; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Délka ramena síly je zde
$d = r\sin\alpha = 0,5 \cdot \sqrt2/2 \approx 0,35\,\text{m}$.
Velikost momentu
$M = Fr\sin\alpha = 60\,\text{N} \cdot 0,35\,\text{m} = 21\,\text{Nm}$.

Výsledek: 21 Nm

Hint:

ID: 37; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Z rovnosti momentů sil plyne rovnice $1000\,\text{N}\cdot 2\,\text{cm} = 200\,\text{N} \cdot d$.
Čili $d = 1000\cdot2/200 = 10\,\text{cm}$.

Výsledek: 10 cm

Hint:

ID: 32; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Výslednice má velikost 120 N.
Zrychlení vozíku tak je $a = F/m = 120/80 = 1,5\,\mathrm{m/s^2}$.
Má zrychlit o 6 m/s, což zvládne zřejmě za 4 sekundy (protože $t = \Delta v/a$).

Výsledek: 4 s

Hint: Určete velikost výslednice a pak zrychlení.

ID: 46; Tags: zákon síly, druhý Newtonův zákon; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Zrychlení krabice je $a = fg$. Pro brzdnou dráhu platí $s = v^2_0/2a =\frac{v^2_0}{2fg}$. Odtud $f = \frac{v^2_0}{2sg} \approx 0,17$.

Výsledek: 0,17

Hint: Určete nejprve velikost zrychlení na základě brzdné dráhy a z toho velikost brzdné síly.

ID: 14; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Výsledná síla má velikost 1100 N - 900 N = 200 N a míří směrem nahoru, protože padák zpomaluje pád. Zrychlení tak bude $a = F_v/m = 200 / 90 = 2,22\mathrm{m/s^2}$ směrem nahoru, tedy jedná se o zpomalení. Rychlost po dvou sekundách bude $v = v_0 - at = 50 - 2,22\cdot 2 \approx 45,6\mathrm{m/s}$. Zanedbáváme zde však fakt, že když pád zpomalí, odpor vzduchu tím zároveň klesne. Zrychlení bude 2,22 m/s2. Po dvou sekundách by rychlost měla být 45,6 m/s.

Výsledek: 45,6 m/s

Hint:

ID: 13; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Použijeme zákon zachování hybnosti:
$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{kon}}$

Dosadíme:
$m_1 = 5000 \, \text{kg}, \, v_1 = 4 \, \text{m/s}, \, m_2 = 10000 \, \text{kg}, \, v_2 = 1 \, \text{m/s}$

$v_{\text{kon}} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

$v_{\text{kon}} = \frac{5000 \cdot 4 + 10000 \cdot 1}{5000 + 10000} = 2 \, \text{m/s}$

Výsledek: 2 m/s

Hint: Celková hybnost systému před srážkou a po srážce musí být stejná.

ID: 24; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Hmotnosti: $m_2 = 1{,}5 \, m_1$. Rychlosti: $v_1 = 1{,}6 \, \text{m/s}$, $v_2 = -1{,}2 \, \text{m/s}$.

Zákon zachování hybnosti:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{\text{kon}}$

Dosadíme $m_2 = 1{,}5 \, m_1$, zkrátíme na obou stranách $m_1$ a vyjádříme konečnou rychlost:
$v_{\text{kon}} = \frac{v_1 + 1{,}5 v_2}{2{,}5} $

Dosadíme hodnoty rychlostí:
$v_{\text{kon}} = \frac{1{,}6 + 1{,}5 \cdot (-1{,}2)}{2{,}5} = -0{,}08 \, \text{m/s}$

Záporné znaménko značí směr pohybu doleva.

Výsledek: -0,08 m/s doleva

Hint: Napište si rovnici vyplývající ze zákona zachování hybnosti. Nezapomeňte, že směr pohybu je potřeba rozlišit znaménkem u rychlosti.

ID: 25; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Protože odpor vzduchu zanedbáváme, platí zákon zachování mechanické energie $E_1 = E_2$. Rovnice je tedy:

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2$

Vyjádříme $v_2^2$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 - m g h_2$

$m$ se pokrátí a dostaneme:
$v_2^2 = v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2)$

Dosadíme známé hodnoty:
$v_2^2 = 5^2 + 2 \cdot 10 \cdot (10 - 8) = 65$

$v_2 = \sqrt{65} \approx 8{,}06 \, \text{m/s}$

Výsledek: 8,06 m/s

Hint: Součet kinetické a potenciálná tíhové energie na začátku a na konci musí být stejný. Z toho vyplyne rovnice, kde hledaná rychlost bude jediná neznámá.

ID: 27; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Pytel působí momentem síly o velikosti
$M_1 = 30\,\text{N} \cdot 0,2\,\text{m} = 6\,\text{Nm}$.
Síla od vlákna má rameno o velikosti
$r = 15\,\text{cm} \cdot \sin\alpha = 7,5\,\text{cm}$.
Má platit
$mgr = 6\,\text{Nm}$,
neboli
$m = 6/(gr) = 6/(10\cdot0,075) = 8\,\text{kg}$.

Výsledek: 8 kg

Hint:

ID: 36; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Určíme celkový souhrnný moment sil A,B,C,D. Pokud síla otáčí proti směru hodinových ručiček, moment bude kladný, pokud po směru ručiček, tak záporný. Rameno sil A,B je 1 m, rameno síly C je $\sqrt2$ m, rameno síly D je nulové.
Máme tak
$M_1 = -50\cdot1 - 50\cdot1 + 100\cdot\sqrt2 = 41,4\,\text{Nm}$.
Síla E působí ve vzdálenosti 0,4 m od rohu, tedy její rameno vůči ose otáčení je 0,6 m.
Musí proto platit
$F_E \cdot 0,6\,\text{m} = -41,4\,\text{Nm}$, čili
$F_E = 41,4/0,6 = 69\,\text{N}$.

Výsledek: 69 N

Hint: Určete celkový moment síly, kterým na čtverec působí síly A,B,C,D. Pak určete rameno síly E a určete její velikost tak, aby vyrovnala moment, kterým působí síla ABCD.

ID: 34; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Musí platit $F_L + F_P = 300\,\mathrm{N}$ (rovnováha sil).
Dále zvolíme libovolnou pomyslnou osu otáčení, nejlépe v místě úchopu Přemka, tedy na pravém konci tyče.
Vůči této ose musí být v rovnováze moment síly $F_L$ a moment gravitační síly na pytel $mg$=300 N. Pytel je od Přemka 1,2 m daleko.
Odtud rovnice:
$ F_L \cdot r_L = mg \cdot r_g $
$ F_L \cdot 2 = 300 \cdot 1,2 $
$ F_L = 300 \cdot 0,6 = 180\,\mathrm{N} $.

Výsledek: 180 N

Hint: Musí nastat rovnováha sil a rovnováha momentů sil vůči libovolné zvolené ose. Součet sil od Ládi a Přemka musí být 300 N. Pak zvolíme osu otáčeni např. v místě úchopu Přemka a počítáme rovnováhu mezi momentem gravitační síly a momentem síly od Ládi.

ID: 48; Tags: statika, moment síly, rovnováha; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Z obrázku můžeme přibližně odhadnout, že velikost ramena síly, kterou kladivo působí na hřebík (vůči místu opření kladiva o prkno) je zhruba poloviční oproti velikosti ramena síly, kterou působí ruka na kladivo. Síla vytahující hřebík tak bude asi dvojnásobná oproti síle ruky, tedy 300 N.

Výsledek: 300 N

Hint: Odhadněte velikost ramena síly, kterou kladivo působí na hřebík, vůči místu opření kladiva o prkno.

ID: 38; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Počáteční rychlost je 25 m/s.

Platí $s = v_0t - \frac{1}{2}at^2$. Neznámou v rovnici je čas. Dosadíme známé hodnoty: $300 = 25t - 0,4t^2$. To je kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant nebo doplněním na čtverec. Výsledkem jsou dva kořeny pro čas, a sice 16,2 s a 46,3 s. Relevantní čas je jen ten první, protože druhý delší čas by odpovídal situaci, že vlak kmen přejede, poté někde dobrzdí do nuly a následně začne couvat, až znovu strom přejede.

Jelikož zpomalování trvá 16,2 s, tak výsledná rychlost bude v = 25 - 0,8*16,2 = 12,04 m/s = 43,3 km/h.

Výsledek: 43 km/h

Hint: Použijte $s = v_0t - \frac{1}{2}at^2$. Neznámá je čas.

ID: 11; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Označme výšku stromu $h$. Jelikož je dráha volného pádu $s = \frac{1}{2}gt^2$, pak vyjádřením dostaneme $t = \sqrt{2s/g}$. První polovinu dráhy urazí za čas $t_1 = \sqrt{2(h/2)/g} = \sqrt{h/g}$. Celou výšku stromu urazí za čas $t_c = \sqrt{2h/g}$. Druhou plovinu urazí za čas $t_2 = t_c - t_1 = \sqrt{2h/g} - \sqrt{h/g}$. Ve výsledku tedy $t_1/t_2 = 1/(\sqrt{2}-1) = 2,4$.

Výsledek: 2,4

Hint:

ID: 12; Tags: ; Autor: Marek Scholz (admin);

Řešení: Musí platit $F_L + F_P = 400\,\mathrm{N}$ (rovnováha sil).
Dále zvolíme libovolnou pomyslnou osu otáčení, nejlépe v místě úchopu Ládi, tedy na levém konci tyče.
Vůči této ose musí být v rovnováze moment síly $F_P$ a moment gravitační síly na pytel $m_1g$ = 300 N spolu s momentem gravitační síly na tyč $m_2g$ = 100 N. Pytel je od Ládi 0,5 m daleko, težiště tyče 1 m daleko.
Odtud rovnice:
$ F_P \cdot r_P = m_1g \cdot r_1 + m_2g \cdot r_2 $
$ F_P \cdot 2 = 300 \cdot 0,5 + 100 \cdot 1 $
$ F_P = 250 / 2 = 125\,\mathrm{N} $.
Potom $F_L = 400 - F_P = 275\,\mathrm{N}$.
Rozdíl velikostí síly od Ládi a od Přemka je patrně 150 N.

Výsledek: 150 N

Hint: Musí nastat rovnováha sil a rovnováha momentů sil vůči libovolné zvolené ose. Součet sil od Ládi a Přemka musí být 300 + 100 = 400 N. Pak zvolíme osu otáčení např. v místě úchopu Ládi a počítáme rovnováhu mezi momentem gravitačních sil a momentem síly od Přemka. Gravitační síla působí na pytel i na tyč (v jejím těžišti). Nakreslete si přehledný obrázek.

ID: 49; Tags: statika, rovnováha, moment síly; Autor: Marek Scholz (admin);